Двадцатичетырёхъячейник
| Двадцатичетырёхъячейник | |
|---|---|
 Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) двадцатичетырёхъячейника в трёхмерное пространство | |
| Тип | Правильный четырёхмерный политоп |
| Символ Шлефли | {3,4,3} |
| Ячеек | 24 |
| Граней | 96 |
| Рёбер | 96 |
| Вершин | 24 |
| Вершинная фигура | Куб |
| Двойственный политоп | Он же (самодвойственный) |
Пра́вильный двадцатичетырёхъяче́йник, или просто двадцатичетырёхъяче́йник, или икоситетрахор (от др.-греч. εἴκοσι — «двадцать», τέτταρες — «четыре» и χώρος — «место, пространство»), — один из шести правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве.
Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов[1]. Символ Шлефли двадцатичетырёхъячейника — {3,4,3}.
Двойственен сам себе; двадцатичетырёхъячейник — единственный самодвойственный правильный политоп размерности больше 2, не являющийся симплексом. Этим обусловлена уникальность двадцатичетырёхъячейника: в отличие от пяти других правильных многоячейников, он не имеет аналога среди платоновых тел.
Описание
Ограничен 24 трёхмерными ячейками — одинаковыми октаэдрами. Угол между двумя смежными ячейками равен в точности [math]\displaystyle{ 120^\circ. }[/math]
Его 96 двумерных граней — одинаковые правильные треугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.
Имеет 96 рёбер равной длины, расположенных так же, как рёбра трёх тессерактов с общим центром. На каждом ребре сходятся по 3 грани и по 3 ячейки.
Имеет 24 вершины, расположенные так же, как вершины трёх шестнадцатиячейников с общим центром. В каждой вершине сходятся по 8 рёбер, по 12 граней и по 6 ячеек.
Двадцатичетырёхъячейник можно рассматривать как полностью усечённый шестнадцатиячейник.
Двадцатичетырёхъячейник можно собрать из двух равных тессерактов, разрезав один из них на 8 одинаковых кубических пирамид, основания которых — 8 ячеек тессеракта, а вершины совпадают с его центром, и затем приложив эти пирамиды к 8 кубическим ячейкам другого тессеракта. В трёхмерном пространстве аналогичным образом можно из двух равных кубов собрать ромбододекаэдр — который, однако, не является правильным.
В координатах
Первый способ расположения
Двадцатичетырёхъячейник можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы 8 из его вершин имели координаты [math]\displaystyle{ (\pm2;0;0;0), }[/math] [math]\displaystyle{ (0;\pm2;0;0), }[/math] [math]\displaystyle{ (0;0;\pm2;0), }[/math] [math]\displaystyle{ (0;0;0;\pm2) }[/math] (эти вершины расположены так же, как вершины шестнадцатиячейника), а остальные 16 вершин — координаты [math]\displaystyle{ (\pm1;\pm1;\pm1;\pm1) }[/math] (они расположены так же, как вершины тессеракта; кроме того, те 8 из них, среди координат которых нечётное число отрицательных, образуют вершины другого шестнадцатиячейника, а прочие 8 — вершины третьего шестнадцатиячейника).
При этом ребром будут соединены те вершины, у которых все четыре координаты различаются на [math]\displaystyle{ 1 }[/math] — либо одна из координат различается на [math]\displaystyle{ 2, }[/math] а остальные совпадают.
Начало координат [math]\displaystyle{ (0;0;0;0) }[/math] будет центром симметрии двадцатичетырёхъячейника, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер.
Второй способ расположения
Кроме того, двадцатичетырёхъячейник можно разместить так, чтобы координаты всех его 24 вершин были всевозможными перестановками чисел [math]\displaystyle{ (\pm1;\pm1;0;0) }[/math] (эти точки — центры 24 ячеек многоячейника, описанного в предыдущем разделе).
При этом ребром будут соединены те вершины, у которых какие-либо две координаты различаются на [math]\displaystyle{ 1, }[/math] а другие две совпадают.
Центром многоячейника снова будет начало координат.
Ортогональные проекции на плоскость
Метрические характеристики
Если двадцатичетырёхъячейник имеет ребро длины [math]\displaystyle{ a, }[/math] то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как
- [math]\displaystyle{ V_4 = 2a^4 = 2{,}0000000a^4, }[/math]
- [math]\displaystyle{ S_3 = 8\sqrt{2}a^3 \approx 11{,}3137085a^3. }[/math]
Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен
- [math]\displaystyle{ R = a = 1{,}0000000a, }[/math]
радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —
- [math]\displaystyle{ \rho_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}\;a \approx 0{,}8660254a, }[/math]
радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —
- [math]\displaystyle{ \rho_2 = \frac{\sqrt{6}}{3}\;a \approx 0{,}8164966a, }[/math]
радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —
- [math]\displaystyle{ r = \frac{\sqrt{2}}{2}\;a \approx 0{,}7071068a. }[/math]
Заполнение пространства
Двадцатичетырёхъячейниками можно замостить четырёхмерное пространство без промежутков и наложений.
Примечания
- ↑ George Olshevsky. Icositetrachoron // Glossary for Hyperspace.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Двадцатичетырёхъячейник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
