Пятискатный купол

Пятискатный купол
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклый
Комбинаторика
Элементы	12 граней 25 рёбер 15 вершин Χ = 2
Грани	5 треугольников 5 квадратов 1 пятиугольник 1 десятиугольник
Конфигурация вершины	10(3.4.10) 5(3.4.5.4)
Развёртка
Классификация
Обозначения	J5, М6
Группа симметрии	C5v

Пятиска́тный ку́пол — один из многогранников Джонсона (J₅, по Залгаллеру — М₆).

Составлен из 12 граней: 5 правильных треугольников, 5 квадратов, 1 правильного пятиугольника и 1 правильного десятиугольника. Десятиугольная грань окружена пятью квадратными и пятью треугольными; пятиугольная грань окружена пятью квадратными; каждая квадратная грань окружена десятиугольной, пятиугольной и двумя треугольными; каждая треугольная грань окружена десятиугольной и двумя квадратными.

Имеет 25 рёбер одинаковой длины. 5 рёбер располагаются между десятиугольной и квадратной гранями, 5 рёбер — между десятиугольной и треугольной, 5 рёбер — между пятиугольной и квадратной, остальные 10 — между квадратной и треугольной.

У пятискатного купола 15 вершин. В 10 вершинах сходятся десятиугольная, квадратная и треугольная грани; в остальных 5 — пятиугольная, две квадратных и треугольная.

Пятискатный купол можно получить из ромбоикосододекаэдра, рассекши тот плоскостью на две неравные части. Вершины полученного многогранника — 15 из 60 вершин ромбоикосододекаэдра, рёбра — 25 из 120 рёбер ромбоикосододекаэдра; отсюда ясно, что у пятискатного купола существуют описанная и полувписанная сферы, причём они совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного ромбоикосододекаэдра. Центр описанной и полувписанной сфер лежит вне пятискатного купола.

Метрические характеристики

Если пятискатный купол имеет ребро длины [math]\displaystyle{ a }[/math], его площадь поверхности и объём выражаются как

[math]\displaystyle{ S = \frac{1}{4}\left(20+5\sqrt3+\left(10+\sqrt5\right)\sqrt{5+2\sqrt5}\right)a^2 \approx 16{,}5797498a^2, }[/math]

[math]\displaystyle{ V = \frac{1}{6}\left(5+4\sqrt5\right)a^3 \approx 2{,}3240453a^3. }[/math]

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

[math]\displaystyle{ R = \frac{1}{2}\sqrt{11+4\sqrt5}\;a \approx 2{,}2329505a, }[/math]

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

[math]\displaystyle{ \rho = \frac{1}{2}\sqrt{10+4\sqrt5}\;a \approx 2{,}1762509a, }[/math]

высота купола (расстояние между десятиугольной и пятиугольной гранями) —

[math]\displaystyle{ H = \sqrt{\frac{5-\sqrt5}{10}}\;a \approx 0{,}5257311a. }[/math]

При одинаковой длине ребра высота пятискатной ротонды (J₆) больше высоты пятискатного купола в [math]\displaystyle{ \Phi^2 = \Phi+1 \approx 2{,}618 }[/math] раз, где [math]\displaystyle{ \Phi = \frac{1+\sqrt5}{2} }[/math] — отношение золотого сечения.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Пятискатный купол (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.