Дважды противоположно скрученный ромбоикосододекаэдр

Дважды противоположно скрученный ромбоикосододекаэдр
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклый
Комбинаторика
Элементы	62 грани 120 рёбер 60 вершин Χ = 2
Грани	20 треугольников 30 квадратов 12 пятиугольников
Конфигурация вершины	20(3.42.5) 2x10+20(3.4.5.4)
Развёртка
Классификация
Обозначения	J73, М6+М14+М6
Группа симметрии	D5d

Два́жды противополо́жно скру́ченный ромбоикосододека́эдр — один из многогранников Джонсона (J₇₃, по Залгаллеру — М₆+М₁₄+М₆).

Составлен из 62 граней: 20 правильных треугольников, 30 квадратов и 12 правильных пятиугольников. Среди пятиугольных граней 2 окружены пятью квадратными, остальные 10 — четырьмя квадратными и треугольной; среди квадратных граней 10 окружены двумя пятиугольными и двумя треугольными, 10 — двумя пятиугольными, квадратной и треугольной, остальные 10 — пятиугольной, квадратной и двумя треугольными; среди треугольных граней 10 окружены тремя квадратными, другие 10 — пятиугольной и двумя квадратными.

Имеет 120 рёбер одинаковой длины. 50 рёбер располагаются между пятиугольной и квадратной гранями, 10 рёбер — между пятиугольной и треугольной, 10 рёбер — между двумя квадратными, остальные 50 — между квадратной и треугольной.

У дважды противоположно скрученного ромбоикосододекаэдра 60 вершин. В каждой сходятся пятиугольная, две квадратных и треугольная грани.

Дважды противоположно скрученный ромбоикосододекаэдр можно получить из ромбоикосододекаэдра, выбрав в нём две части — любые два противолежащих пятискатных купола (J₅), — и повернув каждый на 36° вокруг его оси симметрии. Объём и площадь поверхности при этом не изменятся; описанная и полувписанная сферы полученного многогранника также совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного ромбоикосододекаэдра.

Метрические характеристики

Если дважды противоположно скрученный ромбоикосододекаэдр имеет ребро длины [math]\displaystyle{ a }[/math], его площадь поверхности и объём выражаются как

[math]\displaystyle{ S = \left(30+5\sqrt3+3\sqrt{25+10\sqrt5}\right)a^2 \approx 59{,}3059828a^2, }[/math]

[math]\displaystyle{ V = \frac{1}{3}\left(60+29\sqrt5\right)a^3 \approx 41{,}6153238a^3. }[/math]

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

[math]\displaystyle{ R = \frac{1}{2}\sqrt{11+4\sqrt5}\;a \approx 2{,}2329505a; }[/math]

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

[math]\displaystyle{ \rho = \frac{1}{2}\sqrt{10+4\sqrt5}\;a \approx 2{,}1762509a. }[/math]

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Дважды противоположно скрученный ромбоикосододекаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.