Усечённый куб
| Усечённый куб | |||
|---|---|---|---|
 (вращающаяся модель, 3D-модель) | |||
| - | |||
| Тип | архимедово тело | ||
| Свойства | выпуклый, изогональный | ||
| Комбинаторика | |||
| Элементы |
|
||
| Грани |
8 треугольников 6 восьмиугольников |
||
| Конфигурация вершины | 3.82 | ||
| Двойственный многогранник | триакисоктаэдр | ||
| Классификация | |||
| Обозначения | tC | ||
| Группа симметрии | Oh (октаэдрическая) | ||
Усечённый куб[1][2][3] — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 14 гранями, составленный из 8 правильных треугольников и 6 правильных восьмиугольников.
В каждой из его 24 одинаковых вершин сходятся две восьмиугольных грани и одна треугольная. Телесный угол при вершине равен [math]\displaystyle{ \arccos \left(-\frac{2\sqrt2}{3}\right) \approx 0{,}89\pi. }[/math]
Усечённый куб имеет 36 рёбер равной длины. При 12 рёбрах (между двумя восьмиугольными гранями) двугранные углы прямые, как в кубе; при 24 рёбрах (между треугольной и восьмиугольной гранями) двугранные углы тупые и равны [math]\displaystyle{ \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \approx 125{,}26^\circ, }[/math] как в кубооктаэдре.
Усечённый куб можно получить из обычного куба, «срезав» с того 8 правильных треугольных пирамид, — либо как пересечение имеющих общий центр куба и октаэдра.
Метрические характеристики
Если усечённый куб имеет ребро длины [math]\displaystyle{ a }[/math], его площадь поверхности и объём выражаются как
- [math]\displaystyle{ S = 2\left(6+6\sqrt2+\sqrt3\right)a^2 \approx 32{,}4346644a^2, }[/math]
- [math]\displaystyle{ V = \frac{1}{3}\left(21+14\sqrt2\right)a^3 \approx 13{,}5996633a^3. }[/math]
Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен
- [math]\displaystyle{ R = \frac{1}{2}\sqrt{7+4\sqrt2}\;a \approx 1{,}7788236a; }[/math]
радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —
- [math]\displaystyle{ \rho = \frac{1}{2}\left(2+\sqrt2\right)a \approx 1{,}7071068a. }[/math]
Вписать в усечённый куб сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри усечённого куба с ребром [math]\displaystyle{ a }[/math] (она будет касаться только всех восьмиугольных граней в их центрах), равен
- [math]\displaystyle{ r_8 = \frac{1}{2}\left(1+\sqrt2\right)a \approx 1{,}2071068a. }[/math]
Расстояние от центра многогранника до любой треугольной грани превосходит [math]\displaystyle{ r_8 }[/math] и равно
- [math]\displaystyle{ r_3 = \sqrt{\frac{17}{12}+\sqrt2}\;a \approx 1{,}6825220a. }[/math]
В координатах
Усечённый куб можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными перестановками чисел [math]\displaystyle{ (\pm1;\;\pm1;\;\pm(\sqrt2-1)). }[/math]
Начало координат [math]\displaystyle{ (0;0;0) }[/math] будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.
Заполнение пространства
С помощью октаэдров и усечённых кубов можно замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений (см. иллюстрации).
Примечания
- ↑ Веннинджер, 1974, с. 20, 32.
- ↑ Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 434.
- ↑ Люстерник, 1956, с. 183.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Усечённый куб (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Литература
- М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
- Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382—447.
- Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.
