Теорема Линделёфа о многограннике
Теорема Линделёфа о многограннике наименьшей площади при заданном объёме — теорема, доказанная Лоренсом Линделёфом в 1869 году [1].
Формулировка
Среди всех выпуклых многогранников трёхмерного евклидова пространства с данными направлениями граней и с данным объёмом наименьшую площадь поверхности имеет многогранник, описанный вокруг шара[2].
Замечания
- Теорема доказана в 1869 году Леонардом Линделёфом — отцом знаменитого финского математика Эрнста Линделёфа, широко известного, например, как автора принципа Фрагмена — Линделёфа.
Вариации и обобщения
- Теорема справедлива в евклидовом пространстве любой размерности большей или равной 2 и может быть выведена из неравенства Брунна — Минковского [3].
- На евклидовой плоскости аналогом теоремы Линделёфа о многограннике наименьшей площади при заданном объёме является следующая теорема Люилье:
- Из всех выпуклых многоугольников, стороны которых имеют данное направление и периметр которых имеет заданную длину, наибольшую площадь имеет многоугольник, описанный вокруг окружности[4].
Примечания
- ↑ L. Lindelöf, Propriétés générales des polyèdres qui, sous une étendue superficielle donnée referment le plus grand volume // Bull. de St. Pét. XIV. 237—269 (1869). Clebsch Ann. II. 150—159. 1870 (1869).
- ↑ А. Д. Александров, Выпуклые многогранники. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950. Второе издание: А. Д. Александров, Избранные труды. Том 2. Выпуклые многогранники. Новосибирск: Наука, 2007. ISBN 978-5-02-023184-9
- ↑ Л. А. Люстерник, Применение неравенства Брунна — Минковского к экстремальным задачам // Успехи мат. наук, 2, 47-54 (1936).
- ↑ Л. А. Люстерник, Выпуклые фигуры и многогранники. М.: ГИТТЛ, 1956.
