Многоугольник

Различные типы многоугольников

Многоуго́льник — геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Если граничная ломаная не имеет точек самопересечения, многоугольник называется простым. Например, треугольники и квадраты — простые многоугольники, а пентаграмма — нет.

Точки перелома ломаной называются вершинами многоугольника, а её звенья — сторонами многоугольника. Число сторон многоугольника совпадает с числом его вершин.

Правильный тринадцатиугольник — многоугольник, у которого 13 равных сторон, углов и 13 вершин.

Варианты определений

Существуют три различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым.

• Плоская замкнутая ломаная — наиболее общий случай;
• Плоская замкнутая ломаная без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
• Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений — плоский многоугольник; в этом случае сама ломаная называется контуром многоугольника.

Существуют также несколько вариантов обобщения данного определения, допускающие бесконечное число звеньев ломаных, несколько несвязных граничных ломаных, ломаные в пространстве, произвольные отрезки непрерывных кривых вместо отрезков прямых и др.

Связанные определения

Основной источник:

• Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
• Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.
• Общая длина всех сторон многоугольника называется его периметром.
• Диагоналями называются отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника.
• Углом (или внутренним углом) плоского многоугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами, сходящимися в этой вершине. Угол может превосходить [math]\displaystyle{ 180^\circ }[/math] в том случае, если многоугольник невыпуклый. Число углов простого многоугольника совпадает с числом его сторон или вершин.
• Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В случае невыпуклого многоугольника внешний угол — разность между [math]\displaystyle{ 180^\circ }[/math] и внутренним углом, он может принимать значения от [math]\displaystyle{ -180^\circ }[/math] до [math]\displaystyle{ 180^\circ }[/math].
• Перпендикуляр, опущенный из центра вписанной окружности правильного многоугольника на одну из сторон, называется апофемой.

Виды многоугольников и их свойства

Основной источник:

• Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и так далее. Многоугольник с [math]\displaystyle{ n }[/math] вершинами называется [math]\displaystyle{ n }[/math]-угольником.

Многоугольник, вписанный в окружность

Многоугольник, описанный около окружности

• Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон). Существуют и другие эквивалентные определения выпуклого многоугольника. Выпуклый многоугольник всегда простой, то есть не имеет точек самопересечения.
• Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и все углы, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник. Символ Шлефли правильного [math]\displaystyle{ n }[/math]-угольника равен [math]\displaystyle{ \{n\} }[/math].
• Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, но который имеет самопересечения, называется правильным звёздчатым многоугольником, например, пентаграмма и октаграмма.
• Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности. Сама окружность при этом называется описанной, а её центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника. Любой треугольник является вписанным в некоторую окружность.
• Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной, а её центр лежит на пересечении биссектрис углов многоугольника. Любой треугольник является описанным около некоторой окружности.
• Выпуклый четырёхугольник называется внеописанным около окружности, если продолжения всех его сторон (но не сами стороны) касаются некоторой окружности. Окружность при этом называется вневписанной. Вневписанная окружность существует также и у произвольного треугольника.

Общие свойства

Неравенство треугольника

Неравенство треугольника влечёт, что любая сторона многоугольника меньше суммы остальных его сторон.

Теорема о сумме углов многоугольника

Сумма внутренних углов простого плоского [math]\displaystyle{ n }[/math]-угольника равна [math]\displaystyle{ 180^\circ(n-2) }[/math]. Сумма внешних углов не зависит от числа сторон и всегда равна [math]\displaystyle{ 360^\circ. }[/math]

Число диагоналей

• Число диагоналей всякого [math]\displaystyle{ n }[/math]-угольника равно [math]\displaystyle{ \tfrac{n(n-3)}2 }[/math].

Площадь

Пусть [math]\displaystyle{ \{(X_i,Y_i)\}, i=1,2,...,n }[/math] — последовательность координат соседних друг другу вершин [math]\displaystyle{ n }[/math]-угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса:

[math]\displaystyle{ S = \frac{1}{2}\left|\sum\limits_{i=1}^n (X_i+X_{i+1})(Y_i-Y_{i+1})\right| }[/math], где [math]\displaystyle{ (X_{n+1},Y_{n+1})=(X_1,Y_1) }[/math].

Если даны длины сторон многоугольника и азимутальные углы сторон, то площадь многоугольника может быть найдена по формуле Саррона .

Площадь правильного [math]\displaystyle{ n }[/math]-угольника вычисляется по одной из формул:

• половина произведения периметра [math]\displaystyle{ n }[/math]-угольника на апофему:

• [math]\displaystyle{ S = \frac{n}{4}\ a^2 \mathop{\mathrm{}}\, \operatorname{ctg} \frac{\pi}{n} }[/math].

• [math]\displaystyle{ S = \frac12 n R^2\sin\frac{360^\circ}{n}; }[/math]

• [math]\displaystyle{ S = nr^2 \mathop{\mathrm{tg}}\, \frac{\pi}{n} }[/math]

где [math]\displaystyle{ a }[/math] — длина стороны многоугольника, [math]\displaystyle{ R }[/math] — радиус описанной окружности, [math]\displaystyle{ r }[/math] — радиус вписанной окружности.

Квадрируемость фигур

С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура [math]\displaystyle{ F }[/math] называется квадрируемой, если для любого [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] существует пара многоугольников [math]\displaystyle{ P }[/math] и [math]\displaystyle{ Q }[/math], таких, что [math]\displaystyle{ P\subset F\subset Q }[/math] и [math]\displaystyle{ S(Q)-S(P)\lt \varepsilon }[/math], где [math]\displaystyle{ S(P) }[/math] обозначает площадь [math]\displaystyle{ P }[/math].

Вариации и обобщения

• Многогранник — обобщение многоугольника в размерности три, замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, или тело, ей ограниченное.

Литература

• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Polygon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.