Теорема Эйлера для многогранников

Теорема Эйлера для многогранников — теорема, устанавливающая связь между числом вершин, рёбер и граней для многогранников, топологически эквивалентных сфере.

Формулировка

Пусть [math]\displaystyle{ \Beta }[/math] — число вершин выпуклого многогранника, [math]\displaystyle{ \Rho }[/math] — число его рёбер и [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] — число граней. Тогда верно равенство

[math]\displaystyle{ \Beta -\Rho +\Gamma = 2 }[/math]

Примеры для правильных многогранников:

Правильный многогранник	Вершин (В)	Рёбер (Р)	Граней (Г)	В − Р + Г
Тетраэдр	04	06	04	2
Куб	08	12	06	2
Октаэдр	06	12	08	2
Додекаэдр	20	30	12	2
Икосаэдр	12	30	20	2

История

В 1620 году Рене Декарт показал, что сумма углов всех граней многогранника равна одновременно [math]\displaystyle{ 360^\circ (\Rho - \Gamma) }[/math] и [math]\displaystyle{ 360^\circ (\Beta - 2) }[/math]. Из этого непосредственно следует утверждение теоремы.

В 1750 году Леонард Эйлер доказал тождество для выпуклых многогранников. Теорема Эйлера заложила фундамент нового раздела математики — топологии. Более строгое доказательство дал Коши в 1811 г.

Долгое время считалось, что соотношение Эйлера справедливо для любых многогранников. Первый контрпример дал Симон Люилье в 1812 г.; при рассмотрении коллекции минералов он обратил внимание на прозрачный кристалл полевого шпата, внутри которого был чёрный кубический кристалл сернистого свинца. Люилье понял, что куб с кубической полостью внутри не подчиняется формуле Эйлера. Позже были обнаружены и другие контрпримеры (например, два тетраэдра, склеенные по ребру или имеющие общую вершину), и формулировка теоремы была уточнена: она верна для многогранников, топологически эквивалентных сфере.

Обобщения

• Эйлерова характеристика обобщает формулу Эйлера на многогранники с любым количеством дыр и даже, в более сложном виде, на топологические пространства.
• Формула Эйлера для связного плоского графа имеет тот же вид, однако применима к любым плоским графам, а не только к тем, которые могут быть каркасами многогранников в трёхмерном пространстве.

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера