Дважды наращённый усечённый куб

Дважды наращённый усечённый куб
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклый
Комбинаторика
Элементы	30 граней 60 рёбер 32 вершины Χ = 2
Грани	16 треугольников 10 квадратов 4 восьмиугольника
Конфигурация вершины	8(3.82) 8(3.43) 16(3.4.3.8)
Развёртка
Классификация
Обозначения	J67, М5+М11+М5
Группа симметрии	D4h

Два́жды наращённый усечённый куб — один из многогранников Джонсона (J₆₇, по Залгаллеру — М₅+М₁₁+М₅).

Составлен из 30 граней: 16 правильных треугольников, 10 квадратов и 4 правильных восьмиугольников. Каждая восьмиугольная грань окружена двумя восьмиугольными и шестью треугольными; среди квадратных граней 2 окружены четырьмя квадратными, остальные 8 — квадратной и тремя треугольными; среди треугольных граней 8 окружены двумя восьмиугольными и квадратной, остальные 8 — восьмиугольной и двумя квадратными.

Имеет 60 рёбер одинаковой длины. 4 ребра располагаются между двумя восьмиугольными гранями, 24 ребра — между восьмиугольной и треугольной, 8 рёбер — между двумя квадратными, остальные 24 — между квадратной и треугольной.

У дважды наращённого усечённого куба 32 вершины. В 8 вершинах сходятся две восьмиугольных грани и одна треугольная; в 16 вершинах сходятся восьмиугольная, квадратная и две треугольных грани; в 8 вершинах сходятся три квадратных и треугольная грани.

Дважды наращённый усечённый куб можно получить из трёх многогранников — усечённого куба и двух четырёхскатных куполов (J₄), — приложив куполы к двум противоположным восьмиугольным граням усечённого куба.

Метрические характеристики

Если дважды наращённый усечённый куб имеет ребро длины [math]\displaystyle{ a }[/math], его площадь поверхности и объём выражаются как

[math]\displaystyle{ S = \left(18+8\sqrt2+4\sqrt3\right)a^2 \approx 36{,}2419117a^2, }[/math]

[math]\displaystyle{ V = \left(9+6\sqrt2\right)a^3 \approx 17{,}4852814a^3. }[/math]

В координатах

Дважды наращённый усечённый куб можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты

• [math]\displaystyle{ (\pm(\sqrt2-1);\;\pm1;\;\pm1), }[/math]
• [math]\displaystyle{ (\pm1;\;\pm(\sqrt2-1);\;\pm1), }[/math]
• [math]\displaystyle{ (\pm1;\;\pm1;\;\pm(\sqrt2-1)), }[/math]
• [math]\displaystyle{ (\pm(\sqrt2-1);\;\pm(\sqrt2-1);\;\pm(3-\sqrt2)). }[/math]

При этом центр симметрии многогранника будет совпадать с началом координат, три из пяти осей симметрии — с осями Ox, Oy и Oz, а три из пяти плоскостей симметрии — с плоскостями xOy, xOz и yOz.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Дважды наращённый усечённый куб (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.