Перейти к содержанию

Антипризма

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Антипризма на [math]\displaystyle{ n }[/math]-угольнике
Антипризма на 17-угольникеАнтипризма на 17-угольнике
Тип полуправильный многогранник
Комбинаторика
Элементы
[math]\displaystyle{ 2n+2 }[/math] граней
[math]\displaystyle{ 4n }[/math] рёбер
[math]\displaystyle{ 2n }[/math] вершин
Χ = 2
Грани [math]\displaystyle{ 2n }[/math] треугольников, 2 [math]\displaystyle{ n }[/math]-угольника
Конфигурация вершины 3.3.3.[math]\displaystyle{ n }[/math]
Двойственный многогранник трапецоэдр
Классификация
Обозначения [math]\displaystyle{ A_n }[/math]
Символ Шлефли
  • [math]\displaystyle{ \{\,\}\otimes\{n\} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ s\{2,2n\} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ sr\{2,n\} }[/math]
Диаграмма Дынкина
Группа симметрии [math]\displaystyle{ D_{nd} }[/math]
Группа вращения [math]\displaystyle{ D_{n} }[/math]
Количественные данные
Длина ребра [math]\displaystyle{ a }[/math]
Площадь поверхности [math]\displaystyle{ \frac{n}{2} \left(\mathrm{ctg}{\frac{\pi}{n}} + \sqrt{3}\right) a^2 }[/math]
Объём [math]\displaystyle{ \frac{n \sqrt{4\cos^2\frac{\pi}{2n}-1}\sin \frac{3\pi}{2n} }{12\sin^2\frac{\pi}{n}} \; a^3 }[/math]

Антипризма — полуправильный многогранник, у которого две параллельные грани (основания) — равные между собой правильные n-угольники, а остальные 2n граней (боковые грани) — правильные треугольники.

Октаэдр является антипризмой с треугольными основаниями. Икосаэдр сложен из пятиугольной антипризмы и двух правильных пятиугольных пирамид.

Объем и площадь поверхности

Пусть [math]\displaystyle{ a }[/math] — длина ребра правильной антипризмы. Тогда её объем вычисляется по формуле:

[math]\displaystyle{ V = \frac{n \sqrt{4\cos^2\frac{\pi}{2n}-1}\sin \frac{3\pi}{2n} }{12\sin^2\frac{\pi}{n}} \; a^3 }[/math]

а площадь поверхности по формуле:

[math]\displaystyle{ S = \frac{n}{2} \left(\mathrm{ctg}{\frac{\pi}{n}} + \sqrt{3}\right) a^2. }[/math]

Вариации и обобщения

Скрученная квадратная антипризма
  • Скрученная квадратная антипризма получается из антипризмы поворотом одного из оснований при сохранении комбинаторной структуры граней рёбер и вершин.

Шаблон:Однородные антипризмы Шаблон:Шестиугольные правильные мозаики

См. также