Трапецеромбический додекаэдр

Трапецеромбический додекаэдр
Свойства	выпуклый
Комбинаторика
Элементы	12 граней 24 ребра 14 вершин Χ = 2
Грани	6 ромбов 6 трапеций
Конфигурация вершины	2(4.4.4) 6(4.4.4.4) 6(4.4.4)
Двойственный многогранник	трёхскатный прямой бикупол
Развёртка
Классификация
Группа симметрии	D3h

Трапецеромби́ческий додека́эдр — многогранник, двойственный трёхскатному прямому бикуполу.

Составлен из 12 граней: 6 равнобоких трапеций и 6 ромбов. Каждая грань окружена двумя трапециедальными и двумя ромбическими; у каждой грани два угла равны [math]\displaystyle{ \arccos \, \frac{1}{3} \approx 70{,}53^\circ, }[/math] а два других [math]\displaystyle{ \arccos \left(-\frac{1}{3}\right) \approx 109{,}47^\circ. }[/math]

Имеет 14 вершин. В 2 вершинах сходятся своими тупыми углами три ромбических грани; в 6 вершинах (расположенных как вершины правильной треугольной призмы) сходятся острыми углами две трапециедальных и две ромбических грани; в остальных 6 (расположенных как вершины другой правильной треугольной призмы) сходятся тупыми углами две трапециедальных и одна ромбическая грани.

У трапецеромбического додекаэдра 24 ребра — 3 «длинных» (служащих большими основаниями трапеций), 18 «средних» (служащих боковыми сторонами трапеций и сторонами ромбов) и 3 «коротких» (служащих малыми основаниями трапеций). Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен [math]\displaystyle{ 120^\circ. }[/math]

Трапецеромбический додекаэдр можно получить из ромбододекаэдра, разрезав тот на две части любой плоскостью, пересекающей под прямыми углами шесть его рёбер, и повернув одну из частей на 60° вокруг её оси симметрии. Объём и площадь поверхности при этом не изменятся; вписанная и полувписанная сферы полученного многогранника также совпадают со вписанной и полувписанной сферами исходного ромбододекаэдра.

Метрические характеристики

Если «средние» рёбра трапецеромбического додекаэдра имеют длину [math]\displaystyle{ a }[/math], то его «длинные» рёбра имеют длину [math]\displaystyle{ \frac{4}{3}\,a, }[/math] «короткие» — длину [math]\displaystyle{ \frac{2}{3}\,a. }[/math]

Площадь поверхности и объём многогранника при этом выражаются как

[math]\displaystyle{ S = 8\sqrt2\;a^2 \approx 11{,}3137085a^2, }[/math]

[math]\displaystyle{ V = \frac{16\sqrt3}{9}\;a^3 \approx 3{,}0792014a^3. }[/math]

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

[math]\displaystyle{ r = \frac{\sqrt6}{3}\;a \approx 0{,}8164966a, }[/math]

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

[math]\displaystyle{ \rho = \frac{2\sqrt2}{3}\;a \approx 0{,}9428090a. }[/math]

Описать около трапецеромбического додекаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Периметр любой грани будет равен

[math]\displaystyle{ P_{\Gamma\Rho} = 4a = 4{,}0000000a, }[/math]

радиус окружности, вписанной в любую грань —

[math]\displaystyle{ r_{\Gamma\Rho} = \sqrt{\rho^2-r^2} = \frac{\sqrt2}{3}\;a \approx 0{,}4714045a, }[/math]

площадь любой грани —

[math]\displaystyle{ S_{\Gamma\Rho} = \frac{P_{\Gamma\Rho}}{2}\,r_{\Gamma\Rho} = \frac{2\sqrt2}{3}\;a^2 \approx 0{,}9428090a^2. }[/math]

Заполнение пространства

С помощью трапецеромбических додекаэдров можно замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений.

• 
  Фрагмент заполнения
• 
  Рёберная модель

Данное заполнение является диаграммой Вороного для центров одинаковых сфер в шестиугольной плотной упаковке (ГП).

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Трапецеромбический додекаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.