Кубическая пирамида
| Кубическая пирамида | |
|---|---|
 Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) правильной кубической пирамиды в трёхмерное пространство | |
| Тип | Многогранная пирамида[англ.] |
| Символ Шлефли | ( ) ∨ {4,3} ( ) ∨ [{4} × { }] ( ) ∨ [{ } × { } × { }] |
| Ячеек | 7 |
| Граней | 18 |
| Рёбер | 20 |
| Вершин | 9 |
| Двойственный политоп | Октаэдрическая пирамида |
Куби́ческая пирами́да — четырёхмерный многогранник (многоячейник): многогранная пирамида[англ.], имеющая основанием куб.
Описание
Ограничена 7 трёхмерными ячейками — 6 квадратными пирамидами и 1 кубом. Кубическая ячейка окружена всеми шестью пирамидальными; каждая пирамидальная ячейка окружена кубической и четырьмя пирамидальными.
У кубической пирамиды 18 граней — 6 квадратов и 12 треугольников. Каждая квадратная грань разделяет кубическую и пирамидальную ячейки, каждая треугольная — две пирамидальных.
Имеет 20 рёбер. На каждом ребре сходятся по три грани и по три ячейки: для 12 рёбер это две квадратных и треугольная грани, кубическая и две пирамидальных ячейки; для остальных 8 рёбер — три треугольных грани, три пирамидальных ячейки.
Имеет 9 вершин. В 8 вершинах сходятся по 4 ребра, по 6 граней (три квадратных, три треугольных) и по 4 ячейки (кубическая, три пирамидальных); в 1 вершине — 8 рёбер, все 12 треугольных граней и все 6 пирамидальных ячеек.
Правильногранная кубическая пирамида
Если все рёбра кубической пирамиды имеют равную длину [math]\displaystyle{ a }[/math], все её грани являются правильными многоугольниками. Четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности такой пирамиды выражаются соответственно как
- [math]\displaystyle{ V_4 = \frac{1}{8}\;a^4 = 0{,}1250000a^4, }[/math]
- [math]\displaystyle{ S_3 = \left(1+\sqrt2\right)a^3 \approx 2{,}4142136a^3. }[/math]
Высота пирамиды при этом будет равна
- [math]\displaystyle{ H = \frac{1}{2}\;a = 0{,}5000000a, }[/math]
радиус описанной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) —
- [math]\displaystyle{ R = a = 1{,}0000000a, }[/math]
радиус большей полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —
- [math]\displaystyle{ \rho_1 = \frac{\sqrt3}{2}\;a \approx 0{,}8660254a, }[/math]
радиус меньшей полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней) —
- [math]\displaystyle{ \rho_2 = \frac{1}{2}\left(\sqrt6-\sqrt2\right)a \approx 0{,}5176381a, }[/math]
радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек) —
- [math]\displaystyle{ r = \frac{1}{2}\left(\sqrt2-1\right)a \approx 0{,}2071068a. }[/math]
Центр вписанной гиперсферы располагается внутри пирамиды; центры описанной и большей полувписанной гиперсфер — в одной и той же точке вне пирамиды, симметричной вершине пирамиды относительно её основания; центр меньшей полувписанной гиперсферы — в другой точке вне пирамиды.
Такую пирамиду можно получить, взяв выпуклую оболочку любой вершины двадцатичетырёхъячейника и всех 8 соседних вершин, соединённых с ней ребром.
Угол между двумя смежными пирамидальными ячейками будет равен [math]\displaystyle{ 120^\circ, }[/math] как и между смежными октаэдрическими ячейками в двадцатичетырёхъячейнике. Угол между кубической ячейкой и любой пирамидальной будет равен [math]\displaystyle{ 45^\circ. }[/math]
В координатах
Правильногранную кубическую пирамиду с длиной ребра [math]\displaystyle{ 2 }[/math] можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты
- [math]\displaystyle{ \left(\pm1;\;\pm1;\;\pm1;\;0\right), }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left(0;\;0;\;0;\;1\right). }[/math]
При этом центры описанной и большей полувписанной гиперсфер будут располагаться в точке [math]\displaystyle{ (0;\;0;\;0;\;-1), }[/math] центр меньшей полувписанной гиперсферы — в точке [math]\displaystyle{ (0;\;0;\;0;\;\sqrt3-2), }[/math] центр вписанной гиперсферы — в точке [math]\displaystyle{ (0;\;0;\;0;\;\sqrt2-1). }[/math]
Заполнение пространства
Тессеракт можно разрезать на 8 одинаковых правильногранных кубических пирамид (с вершинами в центре тессеракта и основаниями на его восьми кубических ячейках) — подобно тому, как куб разрезается на 6 квадратных пирамид (которые, однако, в данном случае правильногранными не будут).
А поскольку тессерактами возможно замостить четырёхмерное пространство без промежутков и наложений, правильногранная кубическая пирамида тоже является заполняющим четырёхмерное пространство многоячейником.
Доказать это можно и по-другому: разрезав двадцатичетырёхъячейник (также заполняющий четырёхмерное пространство) на 16 одинаковых правильногранных кубических пирамид.
Ссылки
- Richard Klitzing. Cubical pyramid