Уплощённая треугольная клиноротонда

Уплощённая треугольная клиноротонда
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклая
Комбинаторика
Элементы	20 граней 36 рёбер 18 вершин Χ = 2
Грани	13 треугольников 3 квадрата 3 пятиугольника 1 шестиугольник
Конфигурация вершины	3(33.5) 6(3.4.3.5) 3(3.5.3.5) 2x3(32.4.6)
Развёртка
Классификация
Обозначения	J92, М20
Группа симметрии	C3v

Уплощённая треуго́льная клинорото́нда — один из многогранников Джонсона (J₉₂, по Залгаллеру — М₂₀).

Составлена из 20 граней: 13 правильных треугольников, 3 квадратов, 3 правильных пятиугольников и 1 правильного шестиугольника. Шестиугольная грань окружена тремя квадратными и тремя треугольными; каждая пятиугольная — пятью треугольными; каждая квадратная — шестиугольной и тремя треугольными; среди треугольных 1 грань окружена тремя пятиугольными, 3 грани — двумя пятиугольными и квадратной, 6 граней — пятиугольной, квадратной и треугольной, остальные 3 — шестиугольной и двумя треугольными.

Имеет 36 рёбер одинаковой длины. 3 ребра располагаются между шестиугольной и квадратной гранями, 3 ребра — между шестиугольной и треугольной, 15 рёбер — между пятиугольной и треугольной, 9 рёбер — между квадратной и треугольной, остальные 6 — между двумя треугольными.

У уплощённой треугольной клиноротонды 18 вершин. В 3 вершинах (расположенных как вершины правильного треугольника) сходятся две пятиугольных грани и две треугольных; в 6 вершинах (расположенных как вершины неправильного плоского шестиугольника) сходятся пятиугольная, квадратная и две треугольных грани; в 3 вершинах (расположенных как вершины правильного треугольника) сходятся пятиугольная и три треугольных грани; в 6 вершинах (расположенных как вершины правильного шестиугольника) сходятся шестиугольная, квадратная и две треугольных грани.

Метрические характеристики

Если уплощённая треугольная клиноротонда имеет ребро длины [math]\displaystyle{ a }[/math], её площадь поверхности и объём выражаются как

[math]\displaystyle{ S = \frac{1}{4}\left(12+19\sqrt3+3\sqrt{25+10\sqrt5}\right)a^2 \approx 16{,}3886735a^2, }[/math]

[math]\displaystyle{ V = \frac{1}{6}\left(15+7\sqrt5\right)a^3 \approx 5{,}1087460a^3. }[/math]

В координатах

Уплощённую треугольную клиноротонду с длиной ребра [math]\displaystyle{ 2 }[/math] можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели следующие координаты:

• треугольник, параллельный шестиугольнику:

[math]\displaystyle{ \left(0;\;\frac{2}{\sqrt3};\;\frac{2\Phi^2}{\sqrt3}\right), }[/math] [math]\displaystyle{ \left(\pm1;\;-\frac{1}{\sqrt3};\;\frac{2\Phi^2}{\sqrt3}\right); }[/math]

• основания треугольников, имеющих с первым треугольником общую вершину:

[math]\displaystyle{ \left(\pm1;\;\frac{\Phi^3}{\sqrt3};\;\frac{2\Phi}{\sqrt3}\right), }[/math] [math]\displaystyle{ \left(\pm\Phi^2;\;-\frac{1}{\Phi\sqrt3};\;\frac{2\Phi}{\sqrt3}\right), }[/math] [math]\displaystyle{ \left(\pm\Phi;\;-\frac{\Phi+2}{\sqrt3};\;\frac{2\Phi}{\sqrt3}\right); }[/math]

• вершины пятиугольников напротив первого треугольника:

[math]\displaystyle{ \left(\pm\Phi^2;\;\frac{\Phi^2}{\sqrt3};\;\frac{2}{\sqrt3}\right), }[/math] [math]\displaystyle{ \left(0;\;-\frac{2\Phi^2}{\sqrt3};\;\frac{2}{\sqrt3}\right); }[/math]

• шестиугольник:

[math]\displaystyle{ \left(\pm1;\;\pm\sqrt3;\;0\right), }[/math] [math]\displaystyle{ \left(\pm2;\;0;\;0\right), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \Phi = \frac{1+\sqrt5}{2} }[/math] — отношение золотого сечения.

При этом ось симметрии многогранника будет совпадать с осью Oz, а одна из трёх плоскостей симметрии — с плоскостью yOz.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Уплощённая треугольная клиноротонда (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.