Скрученно удлинённая пятиугольная пирамида

Скрученно удлинённая пятиугольная пирамида
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклая
Комбинаторика
Элементы	16 граней 25 рёбер 11 вершин Χ = 2
Грани	15 треугольников 1 пятиугольник
Конфигурация вершины	5(33.5) 1+5(35)
Развёртка
Классификация
Обозначения	J11, М3+А5
Группа симметрии	C5v

Скру́ченно удлинённая пятиуго́льная пирами́да, или отсечённый икоса́эдр — один из многогранников Джонсона (J₁₁, по Залгаллеру — М₃+А₅).

Составлена из 16 граней: 15 правильных треугольников и 1 правильного пятиугольника. Пятиугольная грань окружена пятью треугольными; среди треугольных 5 граней окружены пятиугольной и двумя треугольными, другие 10 — тремя треугольными.

Имеет 25 рёбер одинаковой длины. 5 рёбер располагаются между пятиугольной и треугольной гранями, остальные 20 — между двумя треугольными.

У скрученно удлинённой пятиугольной пирамиды 11 вершин. В 5 вершинах сходятся пятиугольная грань и три треугольных; в остальных 6 — пять треугольных.

Скрученно удлинённую пятиугольную пирамиду можно получить из правильной пятиугольной пирамиды (J₂) и правильной пятиугольной антипризмы, все рёбра у которых одинаковой длины, — приложив основание пирамиды к одному из оснований антипризмы.

Кроме того, скрученно удлинённую пятиугольную пирамиду можно получить из икосаэдра, отсекши от того пятиугольную пирамиду. Вершины полученного многогранника — 11 из 12 вершин икосаэдра, рёбра — 25 из 30 рёбер икосаэдра; отсюда ясно, что у скрученно удлинённой пятиугольной пирамиды тоже существуют описанная и полувписанная сферы, причём они совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного икосаэдра.

Метрические характеристики

Если скрученно удлинённая пятиугольная пирамида имеет ребро длины [math]\displaystyle{ a }[/math], её площадь поверхности и объём выражаются как

[math]\displaystyle{ S = \frac{1}{4}\left(15\sqrt3+\sqrt{25+10\sqrt5}\right)a^2 \approx 8{,}2156679a^2, }[/math]

[math]\displaystyle{ V = \frac{1}{24}\left(25+9\sqrt5\right)a^3 \approx 1{,}8801922a^3. }[/math]

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

[math]\displaystyle{ R = \frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt5}\;a \approx 0{,}9510565a; }[/math]

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

[math]\displaystyle{ \rho = \frac{1}{4}\left(1+\sqrt5\right)a \approx 0{,}8090170a. }[/math]

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Скрученно удлинённая пятиугольная пирамида (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.