Телесный угол

Теле́сный у́гол — часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол). Частными случаями телесного угла являются трёхгранные и многогранные углы. Границей телесного угла является некоторая коническая поверхность. Обозначается телесный угол обычно буквой Ω.

Телесный угол измеряется отношением площади той части сферы с центром в вершине угла, которая вырезается этим телесным углом, к квадрату радиуса сферы:

[math]\displaystyle{ \Omega\,=\,{S\over R^2}. }[/math]

Телесные углы измеряются отвлечёнными (безразмерными) величинами. Единицей измерения телесного угла в системе СИ является стерадиан, равный телесному углу, вырезающему из сферы радиуса r поверхность с площадью r². Полная сфера образует телесный угол, равный 4π стерадиан (полный телесный угол), для вершины, расположенной внутри сферы, в частности, для центра сферы; таким же является телесный угол, под которым видна любая замкнутая поверхность из точки, полностью охватываемой этой поверхностью, но не принадлежащей ей. Кроме стерадианов, телесный угол может измеряться в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах, а также в долях полного телесного угла.

Телесный угол имеет нулевую физическую размерность.

Двойственный телесный угол к данному телесному углу Ω определяется как угол, состоящий из лучей, образующих с любым лучом угла Ω неострый угол.

Коэффициенты пересчёта единиц телесного угла.

[math]\displaystyle{ \Omega }[/math]	Стерадиан	Кв. градус	Кв. минута	Кв. секунда	Полный угол
1 стерадиан =	1	(180/π)² ≈ ≈ 3282,806 кв. градусов	(180×60/π)² ≈ ≈ 1,1818103⋅10⁷ кв. минут	(180×60×60/π)² ≈ ≈ 4,254517⋅10¹⁰ кв. секунд	1/4π ≈ ≈ 0,07957747 полного угла
1 кв. градус =	(π/180)² ≈ ≈ 3,0461742⋅10⁻⁴ стерадиан	1	60² = = 3600 кв. минут	(60×60)² = = 12 960 000 кв. секунд	π/(2×180)² ≈ ≈ 2,424068⋅10⁻⁵ полного угла
1 кв. минута =	(π/(180×60))² ≈ ≈ 8,461595⋅10⁻⁸ стерадиан	1/60² ≈ ≈ 2,7777778⋅10⁻⁴ кв. градусов	1	60² = = 3600 кв. секунд	π/(2×180×60)² ≈ ≈ 6,73352335⋅10⁻⁹ полного угла
1 кв. секунда =	(π/(180×60×60))² ≈ ≈ 2,35044305⋅10⁻¹¹ стерадиан	1/(60×60)² ≈ ≈ 7,71604938⋅10⁻⁸ кв. градусов	1/60² ≈ ≈ 2,7777778⋅10⁻⁴ кв. минут	1	π/(2×180×60×60)² ≈ ≈ 1,87042315⋅10⁻¹² полного угла
Полный угол =	4π ≈ ≈ 12,5663706 стерадиан	(2×180)²/π ≈ ≈ 41252,96125 кв. градусов	(2×180×60)²/π ≈ ≈ 1,48511066⋅10⁸ кв. минут	(2×180×60×60)²/π ≈ ≈ 5,34638378⋅10¹¹ кв. секунд	1

Вычисление телесных углов

Для произвольной стягивающей поверхности S телесный угол Ω, под которым она видна из начала координат, равен

[math]\displaystyle{ \Omega = \int\limits_S d\Omega = \iint\limits_S \sin\vartheta \, d\varphi \, d\vartheta = \int\limits_S \frac{(\mathbf{r}/r)\cdot \mathbf{n}dS}{r^2}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ r, \vartheta, \varphi }[/math] — сферические координаты элемента поверхности [math]\displaystyle{ dS, }[/math] [math]\displaystyle{ \mathbf{r} }[/math] — его радиус-вектор, [math]\displaystyle{ \mathbf{n} }[/math] — единичный вектор, нормальный к [math]\displaystyle{ dS. }[/math]

Свойства телесных углов

Полный телесный угол (полная сфера) равен 4π стерадиан.
Сумма всех телесных углов, двойственных к внутренним телесным углам выпуклого многогранника, равна полному углу.

Величины некоторых телесных углов

Треугольник с координатами вершин [math]\displaystyle{ \mathbf{r}_1 }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbf{r}_2 }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbf{r}_3 }[/math] виден из начала координат под телесным углом

[math]\displaystyle{ \Omega = 2\, \mathrm{arctg}\, \frac{(\mathbf{r}_1\mathbf{r}_2\mathbf{r}_3)}{r_1r_2r_3 + (\mathbf{r}_1\cdot\mathbf{r}_2)r_3 + (\mathbf{r}_2\cdot\mathbf{r}_3)r_1 + (\mathbf{r}_3\cdot\mathbf{r}_1)r_2}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ (\mathbf{r}_1\mathbf{r}_2\mathbf{r}_3) }[/math] — смешанное произведение данных векторов, [math]\displaystyle{ (\mathbf{r}_i\cdot\mathbf{r}_j) }[/math] — скалярные произведения соответствующих векторов, полужирным шрифтом обозначены векторы, нормальным шрифтом — их длины. Используя эту формулу, можно вычислять телесные углы, стянутые произвольными многоугольниками с известными координатами вершин (для этого достаточно разбить многоугольник на непересекающиеся треугольники).

Телесный угол при вершине прямого кругового конуса с углом раствора α равен [math]\displaystyle{ \Omega = 2\pi \left(1 - \cos \frac{\alpha}{2}\right). }[/math] Если известны радиус основания [math]\displaystyle{ R }[/math] и высота [math]\displaystyle{ H }[/math] конуса, то [math]\displaystyle{ \Omega = 2\pi \left(1 - \frac{H}{\sqrt{R^2+H^2}}\right). }[/math] Когда угол раствора конуса мал, [math]\displaystyle{ \Omega \approx \frac{\pi \alpha^2}{4} }[/math] (угол [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] выражен в радианах), или [math]\displaystyle{ \Omega \approx 0{,}000239 \alpha^2 }[/math] (угол [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] выражен в градусах). Так, телесный угол, под которым с Земли видны Луна и Солнце (их угловой диаметр примерно равен 0,5°), составляет около 6⋅10⁻⁵ стерадиан, или ≈0,0005 % площади небесной сферы (то есть полного телесного угла).

Телесный угол двугранного угла в стерадианах равен удвоенному значению двугранного угла в радианах.

Телесный угол трёхгранного угла выражается по теореме Люилье через его плоские углы [math]\displaystyle{ \theta_a, \theta_b, \theta_c }[/math] при вершине, как:

[math]\displaystyle{ \Omega = 4\,\operatorname{arctg}\sqrt{ \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_a}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_b}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_c}{2}\right)} , }[/math] где [math]\displaystyle{ \theta_s = \frac{\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2} }[/math] — полупериметр.

Через двугранные углы [math]\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma }[/math] телесный угол выражается как:

[math]\displaystyle{ \Omega = \alpha + \beta + \gamma - \pi. }[/math]

Телесный угол при вершине куба (или любого другого прямоугольного параллелепипеда) равен [math]\displaystyle{ \frac{1}{8} }[/math] полного телесного угла, или [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }[/math] стерадиан.

Телесный угол, под которым видна грань правильного N-гранника из его центра, равна [math]\displaystyle{ \frac{1}{N} }[/math] полного телесного угла, или [math]\displaystyle{ \frac{4\pi}{N} }[/math] стерадиан.

Телесный угол при вершине наклонного кругового конуса
Телесный угол, под которым виден круг радиусом R из произвольной точки пространства (то есть телесный угол при вершине произвольного кругового конуса, не обязательно прямого) вычисляется с использованием полных эллиптических интегралов 1-го и 3-го рода^[1]:

[math]\displaystyle{ \Omega = 2\pi + \frac{2H}{L} \left( \frac{r - R}{r + R}\,\Pi(\alpha^2,k) - K(k) \right) }[/math] при [math]\displaystyle{ r \le R, }[/math]

[math]\displaystyle{ \Omega = \frac{2H}{L} \left( \frac{r - R}{r + R}\,\Pi(\alpha^2,k) - K(k) \right) }[/math] при [math]\displaystyle{ r \gt R, }[/math]

где [math]\displaystyle{ K(k) }[/math] и [math]\displaystyle{ \Pi(\alpha^2,k) }[/math] — полные нормальные эллиптические интегралы Лежандра 1-го и 3-го рода, соответственно;

[math]\displaystyle{ r }[/math] — расстояние от центра основания конуса до проекции вершины конуса на плоскость основания;

[math]\displaystyle{ H }[/math] — высота конуса;

[math]\displaystyle{ L = \sqrt{H^2 + (r + R)^2} }[/math] — длина максимальной образующей конуса;

[math]\displaystyle{ k = \frac{\sqrt{4r R}}{L}; }[/math]

[math]\displaystyle{ \alpha = \frac{\sqrt{4r R}}{r+R}. }[/math]

Литература

Hopf H. Selected Chapters of Geometry // ETH Zürich lecture, pp. 1—2, 1940.
Van Oosterom A., Strackee J. The Solid Angle of a Plane Triangle (англ.) // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. — 1983. — Vol. 30. — P. 125—126. — ISSN 0018-9294. — doi:10.1109/TBME.1983.325207. — PMID 6832789. [исправить]
Weisstein E. W. Solid Angle. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
Gardner R.P., Verghese K. On the solid angle subtended by a circular disc (англ.) // Nuclear Instruments and Methods. — 1971. — Vol. 93. — P. 163—167. — doi:10.1016/0029-554X(71)90155-8. — Bibcode: 1971NucIM..93..163G. [исправить]

См. также

Примечания

↑ Paxton F. Solid Angle Calculation for a Circular Disk (англ.) // Review of Scientific Instruments. — 1959. — April (vol. 30, no. 4). — P. 254—258. — doi:10.1063/1.1716590. — Bibcode: 1959RScI...30..254P. Архивировано 7 августа 2017 года.

[1] Paxton F. Solid Angle Calculation for a Circular Disk (англ.) // Review of Scientific Instruments. — 1959. — April (vol. 30, no. 4). — P. 254—258. — doi:10.1063/1.1716590. — Bibcode: 1959RScI...30..254P. Архивировано 7 августа 2017 года.

[1]