Стодвадцатиячейник
| Стодвадцатиячейник | |
|---|---|
 Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) стодвадцатиячейника в трёхмерное пространство | |
| Тип | Правильный четырёхмерный политоп |
| Символ Шлефли | {5,3,3} |
| Ячеек | 120 |
| Граней | 720 |
| Рёбер | 1200 |
| Вершин | 600 |
| Вершинная фигура | Правильный тетраэдр |
| Двойственный политоп | Шестисотячейник |
Пра́вильный стодвадцатияче́йник, или просто стодвадцатияче́йник[1] — один из шести правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве. Известен также под другими названиями: гекатоникосахор (от др.-греч. ἑκατόν — «сто», εἴκοσι — «двадцать» и χώρος — «место, пространство»), гипердодека́эдр (поскольку является четырёхмерным аналогом додекаэдра), додекаплекс (то есть «комплекс додекаэдров»), полидодека́эдр. Двойственен шестисотячейнику.
Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов[2]. Символ Шлефли стодвадцатиячейника — {5,3,3}.
Все 9 его звёздчатых форм — правильные звёздчатые многоячейники. Из 10 правильных звёздчатых многоячейников лишь один не является звёздчатой формой стодвадцатиячейника.
Описание
Ограничен 120 трёхмерными ячейками — одинаковыми додекаэдрами. Угол между двумя смежными ячейками равен в точности [math]\displaystyle{ 144^\circ. }[/math]
Его 720 двумерных граней — одинаковые правильные пятиугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.
Имеет 1200 рёбер равной длины. На каждом ребре сходятся по 3 грани и по 3 ячейки.
Имеет 600 вершин. В каждой вершине сходятся по 4 ребра, по 6 граней и по 4 ячейки.
В координатах
Стодвадцатиячейник можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы:
- координаты 24 его вершин были всевозможными перестановками чисел [math]\displaystyle{ (0;0;\pm2;\pm2); }[/math]
- координаты 64 вершин — всевозможными перестановками [math]\displaystyle{ (\pm1;\pm1;\pm1;\pm\sqrt5); }[/math]
- координаты 64 вершин — всевозможными перестановками [math]\displaystyle{ (\pm\Phi^{-2};\pm\Phi;\pm\Phi;\pm\Phi), }[/math] где [math]\displaystyle{ \Phi = \frac{1+\sqrt5}{2} }[/math] — отношение золотого сечения;
- координаты 64 вершин — всевозможными перестановками [math]\displaystyle{ (\pm\Phi^{-1};\pm\Phi^{-1};\pm\Phi^{-1};\pm\Phi^2); }[/math]
- координаты 96 вершин — всевозможными чётными перестановками [math]\displaystyle{ (0;\pm\Phi^{-2};\pm1;\pm\Phi^2); }[/math]
- координаты 96 вершин — всевозможными чётными перестановками [math]\displaystyle{ (0;\pm\Phi^{-1};\pm\Phi;\pm\sqrt5); }[/math]
- координаты остальных 192 вершин — всевозможными чётными перестановками [math]\displaystyle{ (\pm\Phi^{-1};\pm1;\pm\Phi;\pm2). }[/math]
Начало координат [math]\displaystyle{ (0;0;0;0) }[/math] будет при этом центром симметрии многоячейника, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер.
Проекция вращающегося стодвадцатиячейника в трёхмерное пространство
Ортогональные проекции на плоскость
Метрические характеристики
Если стодвадцатиячейник имеет ребро длины [math]\displaystyle{ a, }[/math] то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как
- [math]\displaystyle{ V_4 = \frac{15}{4}\left(105+47\sqrt5\right)a^4 \approx 787{,}8569810a^4, }[/math]
- [math]\displaystyle{ S_3 = 30\left(15+7\sqrt5\right)a^3 \approx 919{,}5742753a^3. }[/math]
Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен
- [math]\displaystyle{ R = \frac{1}{2}\left(\sqrt{10}+3\sqrt2\right)a \approx 3{,}7024592a, }[/math]
радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —
- [math]\displaystyle{ \rho_1 = \frac{1}{2}\left(\sqrt{15}+2\sqrt3\right)a \approx 3{,}6685425a, }[/math]
радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —
- [math]\displaystyle{ \rho_2 = \sqrt{\frac{1}{10}\left(65+29\sqrt5\right)}\;a \approx 3{,}6034146a, }[/math]
радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —
- [math]\displaystyle{ r = \frac{1}{4}\left(7+3\sqrt5\right)a \approx 3{,}4270510a. }[/math]
Примечания
- ↑ Д. К. Бобылёв. Четырехмерное пространство // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
- ↑ George Olshevsky. Hecatonicosachoron // Glossary for Hyperspace.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Стодвадцатиячейник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Построение стодвадцатиячейника на YouTube
- Главы 3 и 4: Четвертое измерение. Dimensions. dimensions-math.org. Архивировано 4 марта 2015 года.
