Усечённый додекаэдр
| Усечённый додекаэдр | |||
|---|---|---|---|
 (вращающаяся модель, 3D-модель) | |||
| - | |||
| Тип | архимедово тело | ||
| Свойства | выпуклый, изогональный | ||
| Комбинаторика | |||
| Элементы |
|
||
| Грани |
20 треугольников 12 десятиугольников |
||
| Конфигурация вершины | 3.102 | ||
| Двойственный многогранник | триакисикосаэдр | ||
| Классификация | |||
| Обозначения | tD | ||
| Группа симметрии | Ih (икосаэдрическая) | ||
Усечённый додека́эдр[1][2][3] — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 32 гранями, составленный из 20 правильных треугольников и 12 правильных десятиугольников.
В каждой из его 60 одинаковых вершин сходятся две десятиугольных грани и одна треугольная. Телесный угол при вершине равен [math]\displaystyle{ \pi + \arccos \frac{\sqrt5}{3} \approx 1{,}23\pi. }[/math]
Усечённый додекаэдр имеет 90 рёбер равной длины. При 30 рёбрах (между двумя десятиугольными гранями) двугранные углы равны [math]\displaystyle{ \arccos\left(-\frac{\sqrt5}{5}\right) \approx 116{,}57^\circ, }[/math] как в додекаэдре; при 60 рёбрах (между треугольной и десятиугольной гранями) [math]\displaystyle{ \arccos\left(-\sqrt{\frac{5+2\sqrt5}{15}}\right) \approx 142{,}62^\circ, }[/math] как в икосододекаэдре.
Усечённый додекаэдр можно получить из обычного додекаэдра, «срезав» с того 20 правильных треугольных пирамид, — либо как пересечение имеющих общий центр додекаэдра и икосаэдра.
В координатах
Усечённый додекаэдр можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными циклическими перестановками наборов чисел
- [math]\displaystyle{ (0;\;\pm(\Phi-1);\;\pm(\Phi+2)), }[/math]
- [math]\displaystyle{ (\pm(\Phi-1);\;\pm\Phi;\;\pm2\Phi), }[/math]
- [math]\displaystyle{ (\pm\Phi;\;\pm2;\;\pm(\Phi+1)), }[/math]
где [math]\displaystyle{ \Phi = \frac{1+\sqrt5}{2} }[/math] — отношение золотого сечения.
Начало координат [math]\displaystyle{ (0;0;0) }[/math] будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.
Метрические характеристики
Если усечённый додекаэдр имеет ребро длины [math]\displaystyle{ a }[/math], его площадь поверхности и объём выражаются как
- [math]\displaystyle{ S = 5 \left(\sqrt3+6\sqrt{5+2\sqrt5}\right )a^2 \approx 100{,}9907602a^2, }[/math]
- [math]\displaystyle{ V = \frac{5}{12} \left(99+47\sqrt5\right) a^3 \approx 85{,}0396646a^3. }[/math]
Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен
- [math]\displaystyle{ R = \frac{1}{4} \sqrt{74+30\sqrt5}\;a \approx 2{,}9694490a; }[/math]
радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —
- [math]\displaystyle{ \rho = \frac{1}{4} \left(5+3\sqrt5\right) a \approx 2{,}9270510a. }[/math]
Вписать в усечённый додекаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри усечённого додекаэдра с ребром [math]\displaystyle{ a }[/math] (она будет касаться только всех десятиугольных граней в их центрах), равен
- [math]\displaystyle{ r_{10} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{25+11\sqrt5}{2}}\;a \approx 2{,}4898983a. }[/math]
Расстояние от центра многогранника до любой треугольной грани превосходит [math]\displaystyle{ r_{10} }[/math] и равно
- [math]\displaystyle{ r_3 = \frac{\sqrt3}{12} \left(9+5\sqrt5\right) a \approx 2{,}9127812a. }[/math]
Примечания
- ↑ Веннинджер, 1974, с. 20, 34.
- ↑ Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 434.
- ↑ Люстерник, 1956, с. 183.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Усечённый додекаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Литература
- М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
- Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382—447.
- Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.
