Кубооктаэдр

Кубооктаэдр
Кубооктаэдр
	(вращающаяся модель, 3D-модель)
	-
Тип	архимедово тело
Свойства	выпуклый, изогональный, квазиправильный
Комбинаторика
14 граней; 24 ребра; 12 вершин	Χ = 2
Грани	8 треугольников; 6 квадратов
Конфигурация вершины	3.4.3.4
Двойственный многогранник	ромбододекаэдр
	Развёртка
Классификация
Обозначения	aC, aaT
Символ Шлефли	r{3,4}, rr{3,3}
Группа симметрии	Oh (октаэдрическая)

Кубоокта́эдр^[1]^[2] или кубокта́эдр^[3] — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 14 гранями, составленный из 8 правильных треугольников и 6 квадратов.

В каждой из его 12 одинаковых вершин сходятся две квадратных грани и две треугольных. Телесный угол при вершине равен [math]\displaystyle{ \arccos\left(-\frac{7}{9}\right) \approx 0{,}78\pi. }[/math]

Кубооктаэдр имеет 24 ребра равной длины. Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен [math]\displaystyle{ \arccos\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right) \approx 125{,}26^\circ. }[/math]

Кубооктаэдр можно получить из куба, «срезав» с него 8 правильных треугольных пирамид; либо из октаэдра, «срезав» с него 6 квадратных пирамид; либо как пересечение имеющих общий центр куба и октаэдра.

В координатах

Кубооктаэдр с длиной ребра [math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math] можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными перестановками чисел [math]\displaystyle{ (0;\;\pm1;\;\pm1). }[/math]

Начало координат [math]\displaystyle{ (0;\;0;\;0) }[/math] будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Метрические характеристики

Если кубооктаэдр имеет ребро длины [math]\displaystyle{ a }[/math], его площадь поверхности и объём выражаются как

[math]\displaystyle{ S = \left(6+2\sqrt3\right)a^2 \approx 9{,}4641016a^2, }[/math]

[math]\displaystyle{ V = \frac{5\sqrt2}{3}\;a^3 \approx 2{,}3570226a^3. }[/math]

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

[math]\displaystyle{ R = a = 1{,}0000000a, }[/math]

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

[math]\displaystyle{ \rho = \frac{\sqrt3}{2}\;a \approx 0{,}8660254a. }[/math]

Вписать в кубооктаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри кубооктаэдра с ребром [math]\displaystyle{ a }[/math] (она будет касаться только всех квадратных граней в их центрах), равен

[math]\displaystyle{ r_4 = \frac{\sqrt2}{2}\;a \approx 0{,}7071068a. }[/math]

Расстояние от центра многогранника до любой треугольной грани превосходит [math]\displaystyle{ r_4 }[/math] и равно

[math]\displaystyle{ r_3 = \frac{\sqrt6}{3}\;a \approx 0{,}8164966a. }[/math]

Звёздчатые формы

Кубооктаэдр образует звёздчатые формы:

Исходный многогранник
Первая звёздчатая форма
Вторая звёздчатая форма
Третья звёздчатая форма
Четвёртая звёздчатая форма

Заполнение пространства

Одними только кубооктаэдрами замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений нельзя, но это можно сделать с помощью кубооктаэдров вместе с другими многогранниками:

Кубооктаэдры и октаэдры
Ромбокубоктаэдры, кубооктаэдры и кубы
Усечённые октаэдры, усечённые тетраэдры и кубооктаэдры
Растянутые ромбододекаэдры, кубооктаэдры, октаэдры и треугольные призмы

В природе и культуре

Одним из символов компьютерной игры Elite стала космическая станция в форме кубооктаэдра с люком на квадратной грани^[4]. Впоследствии её внесли и в Elite: Dangerous^[5].