Додекаэдр Билинского
| Додекаэдр Билинского | |||
|---|---|---|---|
.png) (вращающаяся модель) | |||
| Свойства | выпуклый, зоноэдр | ||
| Комбинаторика | |||
| Элементы |
|
||
| Грани | 12 ромбов | ||
| Конфигурация вершины |
4+4(4.4.4) 4+2(4.4.4.4) |
||
| Классификация | |||
| Группа симметрии | D2h | ||
Додекаэдр Билинского[1] — многогранник (зоноэдр), составленный из 12 одинаковых золотых ромбов.
Топологически изоморфен ромбододекаэдру, но, в отличие от него, не является изоэдральным (хотя всего его грани также конгруэнтны) и имеет другую группу симметрии.
Грани додекаэдра Билинского — ромбы с отношением диагоналей, равным золотому сечению [math]\displaystyle{ \Phi = \frac{1+\sqrt5}{2} \approx 1{,}618; }[/math] они несколько более вытянуты, чем грани ромбододекаэдра, представляющие собой ромбы с отношением диагоналей [math]\displaystyle{ \sqrt2 \approx 1{,}414. }[/math]
-
Грань ромбододекаэдра -
Грань додекаэдра Билинского
Имеет 14 вершин. В 2 вершинах сходятся четыре грани своими острыми углами; в 4 вершинах сходятся три грани тупыми углами; в 4 вершинах сходятся одна грань острым углом и две тупыми; в 4 вершинах сходятся три грани острыми углами и одна тупым.
У додекаэдра Билинского 24 ребра равной длины. При 12 рёбрах (примыкающих к вершинам, отмеченным на рисунке красным) двугранные углы равны [math]\displaystyle{ 144^\circ; }[/math] при 8 рёбрах (между зелёной и синей вершинами) — [math]\displaystyle{ 108^\circ; }[/math] при 4 рёбрах (между чёрной и зелёной вершинами) — [math]\displaystyle{ 72^\circ. }[/math]
В координатах
Додекаэдр Билинского можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты
- [math]\displaystyle{ \left(0;\;0;\;\pm\Phi^2\right), }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left(0;\;\pm1;\;\pm1\right), }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left(\pm\Phi;\;0;\;\pm\Phi\right), }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left(\pm\Phi;\;\pm1;\;0\right). }[/math]
При этом центр симметрии многогранника будет совпадать с началом координат, три оси симметрии — с осями Ox, Oy и Oz, а три плоскости симметрии — с плоскостями xOy, xOz и yOz.
Метрические характеристики
Если додекаэдр Билинского имеет ребро длины [math]\displaystyle{ a }[/math], его площадь поверхности и объём выражаются как
- [math]\displaystyle{ S = \frac{24}{\sqrt5}\;a^2 \approx 10{,}7331263a^2, }[/math]
- [math]\displaystyle{ V = \frac{4}{5}\sqrt{5+2\sqrt5}\;a^3 \approx 2{,}4621468a^3. }[/math]
История
Впервые данный многогранник встречается под названием «додекаромб» в 1752 году на иллюстрации в книге английского математика Джона Лоджа Коули[англ.][2][3].
Заново найден в 1960 году хорватским математиком Станко Билинским[4], который назвал его «ромбическим додекаэдром второго рода»[5]. Открытие Билинского заполнило остававшийся незамеченным 75 лет пробел в классификации выпуклых многогранников с конгруэнтными ромбическими гранями, описанной Евграфом Фёдоровым[6].
Гарольд Коксетер в статье 1962 года[7] ошибочно утверждал, что додекаэдр Билинского может быть получен аффинным преобразованием ромбододекаэдра. Это утверждение ложно[6].
- Рассмотрим на иллюстрациях выше два отрезка: диагональ многогранника, соединяющую две синих вершины [math]\displaystyle{ \left(-\Phi;\;-1;\;0\right), }[/math] [math]\displaystyle{ \left(\Phi;\;1;\;0\right), }[/math] и диагональ грани, соединяющую красную вершину [math]\displaystyle{ \left(0;\;-1;\;1\right) }[/math] с зелёной [math]\displaystyle{ \left(\Phi;\;0;\;\Phi\right). }[/math]
- В додекаэдре Билинского эти отрезки не параллельны, в ромбододекаэдре же соответствующие им отрезки — параллельны. А поскольку аффинное преобразование сохраняет параллельность отрезков, получить один многогранник из другого при помощи аффинных растяжений и сжатий нельзя.
Примечания
- ↑ У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. — М.: Мир, 1986. — Стр. 157.
- ↑ John Lodge Cowley. Geometry Made Easy; Or, a New and Methodical Explanation of the Elements of Geometry. — London, 1752. — Plate 5, Fig. 16.
- ↑ Hart, George W. (2000), A color-matching dissection of the rhombic enneacontahedron, Symmetry: Culture and Science Т. 11 (1–4): 183–199, <http://www.georgehart.com/dissect-re/dissect-re.htm>. (Архивная копия от 1 октября 2015 на Wayback Machine)
- ↑ Bilinski, S. (1960), Über die Rhombenisoeder, Glasnik Mat. Fiz. Astr. Т. 15: 251–263.
- ↑ Cromwell, Peter R. (1997), Polyhedra: One of the most charming chapters of geometry, Cambridge: Cambridge University Press, с. 156, ISBN 0-521-55432-2, <https://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC&pg=PA156>.
- ↑ 6,0 6,1 Grünbaum, Branko (2010), The Bilinski dodecahedron and assorted parallelohedra, zonohedra, monohedra, isozonohedra, and otherhedra, The Mathematical Intelligencer Т. 32 (4): 5–15, DOI 10.1007/s00283-010-9138-7.
- ↑ Coxeter, H. S. M. (1962), The classification of zonohedra by means of projective diagrams, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées Т. 41: 137–156.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Додекаэдр Билинского (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- David I. McCooey. Bilinski's Dodecahedron
.gif){kind=link}