Евклидово пространство

Эта статья — о пространстве ℝⁿ со скалярным произведением. О любом пространстве со скалярным произведением см. Предгильбертово пространство.

Евкли́дово простра́нство (также эвкли́дово пространство) в изначальном смысле — это пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность, равную 3, то есть является трёхмерным.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство [math]\displaystyle{ \mathbb R^n }[/math] с введённым на нём положительно определённым скалярным произведением; либо метрическое пространство, соответствующее такому векторному пространству. Некоторые авторы ставят знак равенства между евклидовым и предгильбертовым пространством. В этой статье за исходное будет взято первое определение.

[math]\displaystyle{ n }[/math]-мерное евклидово пространство обычно обозначается [math]\displaystyle{ \mathbb E^n }[/math]; также часто используется обозначение [math]\displaystyle{ \mathbb R^n }[/math], когда из контекста ясно, что пространство снабжено естественной евклидовой структурой.

Формальное определение

Чтобы дать определение евклидова пространства, в качестве основы проще всего использовать понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на парах векторов которого задана вещественнозначная функция [math]\displaystyle{ (\cdot, \cdot), }[/math] обладающая следующими тремя свойствами:

• Линейность: для любых векторов [math]\displaystyle{ \mathbf{u,v,w} }[/math] и для любых вещественных чисел [math]\displaystyle{ a,b }[/math] справедливы соотношения [math]\displaystyle{ (a\mathbf u+b\mathbf v,\mathbf w)=a\mathbf{(u,w)}+b\mathbf{(v,w)} }[/math];
• Симметричность: для любых векторов [math]\displaystyle{ u,v }[/math] верно равенство [math]\displaystyle{ \mathbf{(u,v)=(v,u)}; }[/math]
• Положительная определённость: [math]\displaystyle{ \mathbf{(u,u)}\geqslant 0 }[/math] для любого [math]\displaystyle{ u, }[/math] причём [math]\displaystyle{ \mathbf{(u,u)} = 0\Rightarrow\mathbf u=0. }[/math]

Аффинное пространство, соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством или просто евклидовым пространством.

Пример евклидова пространства — координатное пространство [math]\displaystyle{ \mathbb R^n, }[/math] состоящее из всевозможных наборов вещественных чисел [math]\displaystyle{ (x_1, x_2, \ldots, x_n), }[/math]где скалярное произведение определяется формулой [math]\displaystyle{ \mathbf{(x,y)} = \sum_{i=1}^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n. }[/math]

Длины и углы

Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла. Длина вектора [math]\displaystyle{ u }[/math] определяется как [math]\displaystyle{ \sqrt\mathbf{(u,u)} }[/math] и обозначается [math]\displaystyle{ |\mathbf u|. }[/math] Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что [math]\displaystyle{ |a\mathbf u|=|a||\mathbf u|, }[/math] то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.

Угол между векторами [math]\displaystyle{ \mathbf x }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathbf y }[/math] определяется как [math]\displaystyle{ \arccos\mathbf\tfrac{(x,y)}{|x||y|}. }[/math] Из теоремы косинусов следует, что для двумерного евклидова пространства (евклидовой плоскости) данное определение угла совпадает с обычным. Ненулевые ортогональные векторы, как и в трёхмерном пространстве, можно определить как векторы под углом [math]\displaystyle{ \tfrac{\pi}{2}, }[/math] то есть как векторы с нулевым скалярным произведением.

Замечание

Необходимо уточнить, что, чтобы арккосинус от [math]\displaystyle{ \mathbf\tfrac{(x,y)}{|x||y|} }[/math] был определён, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство [math]\displaystyle{ \left|\mathbf\tfrac{(x,y)}{|x||y|}\right|\leqslant 1. }[/math] Это неравенство действительно выполняется в произвольном евклидовом пространстве: оно называется неравенством Коши — Буняковского. Из него, в свою очередь, следует неравенство треугольника: [math]\displaystyle{ \mathbf{|u+v|\leqslant |u|+|v|}. }[/math] Неравенство треугольника, вместе с вышеперечисленными свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция [math]\displaystyle{ d\mathbf{(x,y)}, }[/math] или [math]\displaystyle{ \mathbf{|x-y|}, }[/math] задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой). В частности, расстояние между элементами (точками) [math]\displaystyle{ \mathbf x }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathbf y }[/math] координатного пространства [math]\displaystyle{ \mathbb R^n }[/math] задаётся формулой [math]\displaystyle{ d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}. }[/math]

Алгебраические свойства

Ортонормированные базисы

Ортонормированный базис в евклидовом (векторном) пространстве — это базис, состоящий из попарно ортогональных векторов единичной нормы. Ортонормированные базисы наиболее удобны для вычислений. Так, например, скалярное произведение векторов с координатами [math]\displaystyle{ (a_1, a_2, \ldots, a_n) }[/math] и [math]\displaystyle{ (b_1, b_2, \ldots, b_n) }[/math] в ортонормированном базисе можно вычислять по формуле [math]\displaystyle{ (a,b)=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n. }[/math] В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Выбрав в двух евклидовых пространствах ортонормированные базисы и переведя один из них в другой линейным отображением, можно доказать, что любые два евклидовых пространства одинаковой размерности изоморфны (в частности, [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерное евклидово пространство изоморфно [math]\displaystyle{ \mathbb R^n }[/math] со стандартным скалярным произведением).

Ортогональные проекции

Вектор называется ортогональным подпространству, если он ортогонален всем векторам этого подпространства. Ортогональная проекция вектора [math]\displaystyle{ x }[/math] на подпространство [math]\displaystyle{ U }[/math] — это вектор [math]\displaystyle{ h, }[/math] ортогональный [math]\displaystyle{ U, }[/math] такой что [math]\displaystyle{ x }[/math] представим в виде [math]\displaystyle{ u+h, }[/math] где [math]\displaystyle{ u\in U. }[/math] Расстояние между концами векторов [math]\displaystyle{ u }[/math] и [math]\displaystyle{ x }[/math] является минимальным расстоянием среди расстояний от конца вектора [math]\displaystyle{ x }[/math] до подпространства [math]\displaystyle{ U. }[/math] Ортогональная проекция вектора на подпространство всегда существует: для её построения достаточно применить метод ортогонализации Грама — Шмидта к объединению ортонормированного базиса в подпространстве и этого вектора. Ортогональные проекции в пространствах больших размерностей используются, например, в методе наименьших квадратов.

Сопряжённые пространства и операторы

Любой вектор [math]\displaystyle{ x }[/math] евклидова пространства задаёт линейный функционал [math]\displaystyle{ x^* }[/math] на этом пространстве, определяемый как [math]\displaystyle{ x^*(y)=(x,y). }[/math] Это сопоставление является изоморфизмом между евклидовым пространством и двойственным к нему пространством и позволяет их отождествлять без ущерба для вычислений. В частности, сопряжённые операторы можно рассматривать как действующие на исходном пространстве, а не на двойственном к нему, и определить самосопряжённые операторы как операторы, совпадающие с сопряжёнными к ним. В ортонормированном базисе матрица сопряжённого оператора является транспонированной к матрице исходного оператора, а матрица самосопряжённого оператора является симметричной.

Движения евклидова пространства

Движения евклидова пространства — это преобразования пространства на само себя, сохраняющие метрику (также называются изометриями пространства на само себя). Пример движения — параллельный перенос на вектор [math]\displaystyle{ \mathbf v }[/math], переводящий точку [math]\displaystyle{ \mathbf p }[/math] в точку [math]\displaystyle{ \mathbf{p + v} }[/math]. Нетрудно увидеть, что любое движение является композицией параллельного переноса и преобразования, сохраняющего неподвижной одну точку. Выбрав неподвижную точку за начало координат, любое такое движение можно рассматривать как ортогональное преобразование. Ортогональные преобразования n-мерного евклидова пространства образуют группу, обозначаемую O(n). Выбрав в пространстве ортонормированный базис, эту группу можно представить как группу матриц n × n, удовлетворяющих условию [math]\displaystyle{ Q^\mathsf{T}Q = E }[/math], где [math]\displaystyle{ Q^\mathsf{T} }[/math] — транспонированная матрица, а [math]\displaystyle{ E }[/math] — единичная матрица.

Примеры

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

• [math]\displaystyle{ \mathbb {E^1} }[/math] размерности [math]\displaystyle{ 1 }[/math] (вещественная прямая — к примеру, числовая ось);
• [math]\displaystyle{ \mathbb {E^2} }[/math] размерности [math]\displaystyle{ 2 }[/math] (евклидова плоскость);
• [math]\displaystyle{ \mathbb {E^3} }[/math] размерности [math]\displaystyle{ 3 }[/math] (евклидово трёхмерное пространство).

Более абстрактный пример:

• пространство [math]\displaystyle{ \mathcal{P}^n }[/math] вещественных многочленов, степени которых не превосходят n, со скалярным произведением, определённым как интеграл их произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией, например [math]\displaystyle{ e^{-x^2} }[/math]).

Примеры геометрических фигур в многомерном евклидовом пространстве:

• правильные многомерные многогранники (например, N-мерный куб, N-мерный октаэдр, N-мерный тетраэдр);
• гиперсфера;
• гипертор.

Связанные определения

Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.

Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.

Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Вариации и обобщения

Если в качестве основного поля использовать не поле вещественных чисел, а поле комплексных, то это даст определение унитарного (или эрмитова) пространства.

Отказ от требования конечномерности даёт определение предгильбертова пространства. Отказ от требования положительной определённости скалярного произведения приводит к определению псевдоевклидова пространства. Требование того, чтобы предгильбертово пространство было полным по метрике, ведёт к определению гильбертова пространства; пространство квадратично-суммируемых последовательностей — гильбертово пространство, которое может рассматриваться как пространство векторов с бесконечным числом координат.

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986. — 304 с.
• Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ. — М.: Физматлит, 1958. — 352 с. — 7500 экз.