Перейти к содержанию

Квадратный паркет

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Квадратная мозаика
Тип Правильная мозаика[англ.]
Конфигурация
граней
4.4.4.4 (или 44)
|
Конфигурация
граней
V4.4.4.4 (или V44)
Символ
Шлефли
{4,4}
[math]\displaystyle{ \{\infty\}\times\{\infty\} }[/math]
Символ
Витхоффа
4 | 2 4
Диаграммы
Коксетера — Дынкина





Симметрия p4m, [4,4], (*442)
Симметрия
вращения
], p4, [4,4]+, (442)|
Двойственная
мозаика
самодвойственны
Свойства вершинно транзитивная
гране транзитивная
рёберно транзитивная

Квадра́тный парке́т, квадратный паркетаж[1], квадратная мозаика или квадратная решётка — это замощение плоскости равными квадратами, расположенными сторона к стороне, при этом вершины четырёх смежных квадратов находятся в одной точке. Символ Шлефли мозаики — {4,4}, означающий, что вокруг каждой вершины имеется 4 квадрата.

Конвей называл эту мозаику quadrille (кадриль).

Внутренний угол квадрата составляет 90 градусов, так что четыре квадрата в вершине дают полный угол в 360 градусов. Мозаика является одной из трёх правильных мозаик на плоскости. Другие две — треугольная мозаика и шестиугольная мозаика.

Однородные раскраски

Существует 9 различных однородных раскрасок[англ.] квадратной мозаики. Цвета 4 квадратов по индексам цвета вокруг вершины: 1111, 1112(i), 1112(ii), 1122, 1123(i), 1123(ii), 1212, 1213, 1234. Помечены через (i) случаи с простой зеркальной симметрией и через (ii) случаи со скользящей зеркальной симметрией. Три из этих вариантов можно рассматривать в той же фундаментальной области как редуцированные раскраски — 1112i получается из 1213, 1123i из 1234, а 1112ii из 1123ii.

9 однородных раскрасок
1111 1212 1213 1112i 1122
p4m (*442) p4m (*442) pmm (*2222)
1234 1123i 1123ii 1112ii
pmm (*2222) cmm (2*22)
Доска Го с камнями

Шахматная раскраска (цвета 1212) является основой для многих игр и головоломок, например, поле шахматной доски представляет собой квадратный паркет, также и для многих других игр на клетчатом поле, кроссвордов, полимино, модели «Жизнь» и других двумерных клеточных автоматов и т. п.

Доска одного цвета (цвета 1111) используется, например, в игре Го.

Связанные многогранники и мозаики

Эта мозаика топологически является частью последовательности правильных многогранников и мозаик, продолжающейся в гиперболической плоскости: {4,p}, p=3,4,5…

Шаблон:Таблица правильных квадратных мозаик

Квадратная мозаика являются частью последовательности правильных многогранников и мозаик, имеющих четыре грани на вершину. Последовательность начинается с октаэдра, символы Шлефли последовательности — {n,4}, а диаграммы Коксетера — при n, стремящемся к бесконечности. Шаблон:Правильные мозаики 4-го порядка

Шаблон:Таблица двойственных квазирегулярных мозаик порядка 4

Шаблон:Таблица расширенных мозаик порядка 4

Построение Витхоффа из квадратной мозаики

Подобно однородным многогранникам существует восемь однородных мозаик[англ.], имеющих в основе правильную квадратную мозаику.

Рисуя оригинальные грани красным цветом, оригинальные вершины жёлтым, а оригинальные рёбра синим, получим 8 различных мозаик. Однако существует только три топологически различных мозаики — квадратная мозаика, усечённая квадратная мозаика и плосконосая квадратная мозаика.

Шаблон:Таблица мозаик порядка 4-4

Топологически эквивалентные мозаики

Изогональный вариант с двумя типами граней
2-изоэдральный вариант с ромбическими гранями

Другие четырёхугольные мозаики могут быть топологически эквивалентны квадратным мозаикам (4 четырёхугольника при каждой вершине).

Изоэдральные мозаики имеют одинаковые грани (транзитивность по граням) и они вершинно транзитивны. Имеется 18 вариантов, при этом 6 имеют треугольные грани, не соединяющиеся ребро-к-ребру, и ещё 6 состоят из четырёхугольников с двумя параллельными рёбрами (трапеций). Приведённая симметрия предполагает, что все грани выкрашены в один цвет[2].

Изоэдральные четырёхугольные мозаики
Квадрат
p4m, (*442)
Четырёхугольник
p4g, (4*2)
Прямоугольник
pmm, (*2222)
Параллелограмм
p2, (2222)
Параллелограмм
pmg, (22*)
Ромб
cmm, (2*22)
Ромб
pmg, (22*)
Трапеция
cmm, (2*22)
Четырёхугольник
pgg, (22×)
Дельтоид
pmg, (22*)
Четырёхугольник
pgg, (22×)
Четырёхугольник
p2, (2222)
Вырожденные четырёхугольники или треугольники, не соприкасающиеся ребро-к-ребру
Равнобедренный
pmg, (22*)
Равнобедренный
pgg, (22×)
Неравносторонний
pgg, (22×)
Неравносторонний
p2, (2222)

Упаковка кругов

Квадратную мозаику можно использовать для упаковки кругов, если размещать круги одинакового диаметра с центрами в вершинах квадратов. Каждый круг соприкасается с четырьмя другими кругами упаковки (контактное число)[3]. Плотность упаковки равна [math]\displaystyle{ \pi/4 \approx 78{,}54\% }[/math]. Существует 4 однородных раскраски упаковки кругов.

Связанные правильные комплексные бесконечноугольники

Существует 3 правильных комплексных апейрогона, имеющих те же вершины, что и квадратная мозаика. Правильные комплексные апейрогоны имеют вершины и рёбра, при этом рёбра могут содержать 2 и более вершин. Правильные апейрогоны p{q}r ограничены выражением 1/p + 2/q + 1/r = 1. Здесь предполагается, что рёбра содержат p вершин, а вершинная фигура r-гональна[4].

Самодвойственные Двойственные
4{4}4 или 2{8}4 или 4{8}2 или

См. также

Примечания

  1. Голомб, 1975, с. 147.
  2. Grünbaum, Shephard, 1987, с. 473—481.
  3. Critchlow, 1987, с. 74—75.
  4. Coxeter, 1973, с. 111—112, 136.

Литература

Ссылки

Шаблон:Геометрические соты