Квадратный паркет
Квадратная мозаика | |
---|---|
Тип | Правильная мозаика[англ.] |
Конфигурация граней |
4.4.4.4 (или 44) ![]() |
Конфигурация граней |
V4.4.4.4 (или V44) |
Символ Шлефли |
{4,4} [math]\displaystyle{ \{\infty\}\times\{\infty\} }[/math] |
Символ Витхоффа |
4 | 2 4 |
Диаграммы Коксетера — Дынкина |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Симметрия | p4m, [4,4], (*442) |
Симметрия вращения |
], p4, [4,4]+, (442)| |
Двойственная мозаика |
самодвойственны |
Свойства | вершинно транзитивная гране транзитивная рёберно транзитивная |
Квадра́тный парке́т, квадратный паркетаж[1], квадратная мозаика или квадратная решётка — это замощение плоскости равными квадратами, расположенными сторона к стороне, при этом вершины четырёх смежных квадратов находятся в одной точке. Символ Шлефли мозаики — {4,4}, означающий, что вокруг каждой вершины имеется 4 квадрата.
Конвей называл эту мозаику quadrille (кадриль).
Внутренний угол квадрата составляет 90 градусов, так что четыре квадрата в вершине дают полный угол в 360 градусов. Мозаика является одной из трёх правильных мозаик на плоскости. Другие две — треугольная мозаика и шестиугольная мозаика.
Однородные раскраски
Существует 9 различных однородных раскрасок[англ.] квадратной мозаики. Цвета 4 квадратов по индексам цвета вокруг вершины: 1111, 1112(i), 1112(ii), 1122, 1123(i), 1123(ii), 1212, 1213, 1234. Помечены через (i) случаи с простой зеркальной симметрией и через (ii) случаи со скользящей зеркальной симметрией. Три из этих вариантов можно рассматривать в той же фундаментальной области как редуцированные раскраски — 1112i получается из 1213, 1123i из 1234, а 1112ii из 1123ii.
9 однородных раскрасок | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1111 | 1212 | 1213 | 1112i | 1122 | |||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | |||||||
p4m (*442) | p4m (*442) | pmm (*2222) | |||||||||
1234 | 1123i | 1123ii | 1112ii | ||||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | ||||||||
pmm (*2222) | cmm (2*22) |
![](https://cdn.xn--h1ajim.xn--p1ai/thumb.php?f=GoSeigen-KitaniMonoru.png&width=300)
Шахматная раскраска (цвета 1212) является основой для многих игр и головоломок, например, поле шахматной доски представляет собой квадратный паркет, также и для многих других игр на клетчатом поле, кроссвордов, полимино, модели «Жизнь» и других двумерных клеточных автоматов и т. п.
Доска одного цвета (цвета 1111) используется, например, в игре Го.
Связанные многогранники и мозаики
Эта мозаика топологически является частью последовательности правильных многогранников и мозаик, продолжающейся в гиперболической плоскости: {4,p}, p=3,4,5…
Шаблон:Таблица правильных квадратных мозаик
Квадратная мозаика являются частью последовательности правильных многогранников и мозаик, имеющих четыре грани на вершину. Последовательность начинается с октаэдра, символы Шлефли последовательности — {n,4}, а диаграммы Коксетера —
при n, стремящемся к бесконечности.
Шаблон:Правильные мозаики 4-го порядка
Шаблон:Таблица двойственных квазирегулярных мозаик порядка 4
Шаблон:Таблица расширенных мозаик порядка 4
Построение Витхоффа из квадратной мозаики
Подобно однородным многогранникам существует восемь однородных мозаик[англ.], имеющих в основе правильную квадратную мозаику.
Рисуя оригинальные грани красным цветом, оригинальные вершины жёлтым, а оригинальные рёбра синим, получим 8 различных мозаик. Однако существует только три топологически различных мозаики — квадратная мозаика, усечённая квадратная мозаика и плосконосая квадратная мозаика.
Шаблон:Таблица мозаик порядка 4-4
Топологически эквивалентные мозаики
![](https://cdn.xn--h1ajim.xn--p1ai/thumb.php?f=Isogonal_snub_square_tiling.png&width=150)
![](https://cdn.xn--h1ajim.xn--p1ai/thumb.php?f=Isohedral_tiling_p4-51d.png&width=150)
Другие четырёхугольные мозаики могут быть топологически эквивалентны квадратным мозаикам (4 четырёхугольника при каждой вершине).
Изоэдральные мозаики имеют одинаковые грани (транзитивность по граням) и они вершинно транзитивны. Имеется 18 вариантов, при этом 6 имеют треугольные грани, не соединяющиеся ребро-к-ребру, и ещё 6 состоят из четырёхугольников с двумя параллельными рёбрами (трапеций). Приведённая симметрия предполагает, что все грани выкрашены в один цвет[2].
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Квадрат p4m, (*442) |
Четырёхугольник p4g, (4*2) |
Прямоугольник pmm, (*2222) |
Параллелограмм p2, (2222) |
Параллелограмм pmg, (22*) |
Ромб cmm, (2*22) |
Ромб pmg, (22*) |
---|---|---|---|---|---|---|
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | |
Трапеция cmm, (2*22) |
Четырёхугольник pgg, (22×) |
Дельтоид pmg, (22*) |
Четырёхугольник pgg, (22×) |
Четырёхугольник p2, (2222) |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Равнобедренный pmg, (22*) |
Равнобедренный pgg, (22×) |
Неравносторонний pgg, (22×) |
Неравносторонний p2, (2222) |
---|
Упаковка кругов
Квадратную мозаику можно использовать для упаковки кругов, если размещать круги одинакового диаметра с центрами в вершинах квадратов. Каждый круг соприкасается с четырьмя другими кругами упаковки (контактное число)[3]. Плотность упаковки равна [math]\displaystyle{ \pi/4 \approx 78{,}54\% }[/math]. Существует 4 однородных раскраски упаковки кругов.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Связанные правильные комплексные бесконечноугольники
Существует 3 правильных комплексных апейрогона, имеющих те же вершины, что и квадратная мозаика. Правильные комплексные апейрогоны имеют вершины и рёбра, при этом рёбра могут содержать 2 и более вершин. Правильные апейрогоны p{q}r ограничены выражением 1/p + 2/q + 1/r = 1. Здесь предполагается, что рёбра содержат p вершин, а вершинная фигура r-гональна[4].
Самодвойственные | Двойственные | |
---|---|---|
![]() |
![]() |
![]() |
4{4}4 или ![]() ![]() ![]() |
2{8}4 или ![]() ![]() ![]() |
4{8}2 или ![]() ![]() ![]() |
См. также
- Клетка (рисунок)
- Список правильных многомерных многогранников и соединений
- Список однородных мозаик[англ.]
- Квадратная решётка
- Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости
Примечания
- ↑ Голомб, 1975, с. 147.
- ↑ Grünbaum, Shephard, 1987, с. 473—481.
- ↑ Critchlow, 1987, с. 74—75.
- ↑ Coxeter, 1973, с. 111—112, 136.
Литература
- Голомб С. В. Полимино = Polyominoes / Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома. — М.: Мир, 1975. — 207 с.
- Coxeter H. C. M. Table II: Regular honeycombs // Regular Polytopes (book)[англ.]. — Third edition. — Dover Edition, 1973. — С. 296. — ISBN 0-486-61480-8.
- Klitzing, Richard 2D Euclidean tilings o4o4x — squat — O1 Архивная копия от 9 декабря 2017 на Wayback Machine
- Williams, R. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York: Dover Publications, 1979. — С. 36. — ISBN 0-486-23729-X.
- Branko Grünbaum, G. C. Shephard. Tilings and Patterns. — W. H. Freeman, 1987. — С. 58—65 (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings). — ISBN 0-7167-1193-1.
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — Wellesley, MA: A K Peters, Ltd., 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5. Архивная копия от 19 сентября 2010 на Wayback Machine
- Keith Critchlow. Order in Space: A design source book. — New York: Thames & Hudson, 1987. — С. 77—76, pattern 8. — ISBN 0-500-34033-1.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Square Grid (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Regular tessellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Uniform tessellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Для улучшения этой статьи желательно: |