Симплекс

Си́мплекс или n-мерный тетра́эдр (от лат. simplex ‘простой’) — геометрическая фигура, являющаяся n-мерным обобщением треугольника.

Определение

Симплекс (точнее, n-симплекс, где число n называется размерностью симплекса) — это выпуклая оболочка n + 1 точки аффинного пространства (размерности n или больше), которые предполагаются аффинно независимыми (то есть не лежат в подпространстве размерности n − 1). Эти точки называются вершинами симплекса.

Симплекс может быть охарактеризован как множество всевозможных выпуклых комбинаций своих вершин [math]\displaystyle{ A_i }[/math]:

[math]\displaystyle{ \Delta=\left\{ \sum_{i=0}^n t_i A_i : \left(\sum_{i=0}^n t_i = 1\right) \wedge (\forall i \; t_i \geqslant 0) \right\}. }[/math]

Связанные определения

Модель правильного 3-симплекса

• Открытым симплексом называется множество всевозможных барицентрических комбинаций своих вершин с положительными коэффициентами (при этом симплекс с теми же вершинами, удовлетворяющий определению из предыдущего раздела, именуют также замкнутым симплексом; в соответствии с терминологией общей топологии, замкнутый симплекс есть замыкание соответствующего открытого симплекса, а этот открытый симплекс есть открытое ядро замкнутого симплекса).
• Остовом симплекса называется множество всех его вершин.
• Рёбрами симплекса называются отрезки, соединяющие его вершины.
• Гранями размерности s симплекса называются s-мерные симплексы, остовами которых служат подмножества остова исходного симплекса.
• Симплекс называют ориентированным, если его остов представляет собой вполне упорядоченное множество; при этом считается, что порядки, отличающиеся друг от друга чётной перестановкой вершин, задают одну и ту же ориентацию (под ориентированным 0-симплексом понимается точка, которой приписан знак: «плюс» или «минус»).
• Симплекс, лежащий в евклидовом пространстве, называется правильным, если все его рёбра имеют одинаковую длину.

Стандартный симплекс

Зелёный треугольник — стандартный 2-симплекс

Стандартный n-симплекс — это подмножество арифметического пространства [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^{n+1} }[/math], определяемое как

[math]\displaystyle{ \Delta^n = \left\{ (t_0, \dots, t_n) : \left(\sum_{i=0}^n t_i = 1\right) \wedge (\forall i \; t_i \geqslant 0) \right\}. }[/math]

Его вершинами являются точки

e₀ = (1, 0, …, 0),

e₁ = (0, 1, …, 0),

…

e_n = (0, 0, …, 1).

Существует каноническое взаимно-однозначное отображение стандартного n-симплекса в любой другой n-симплекс Δ с координатами вершин [math]\displaystyle{ (v_0, v_1, \dots, v_n) }[/math]:

[math]\displaystyle{ (t_0, \dots, t_n) \mapsto \sum_i t_i v_i. }[/math]

Значения [math]\displaystyle{ t_i }[/math] для данной точки симплекса Δ называются её барицентрическими координатами.

Свойства

• n-мерный симплекс имеет [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math] вершин, любые [math]\displaystyle{ k + 1 }[/math] из которых образуют k-мерную грань.
  • В частности, число k-мерных граней в n-симплексе равно биномиальному коэффициенту [math]\displaystyle{ \tbinom{n + 1}{k + 1}. }[/math]
  • В частности, число граней старшей размерности совпадает с количеством вершин и равно [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math].
• Ориентированный объём n-симплекса в n-мерном евклидовом пространстве можно определить по формуле

  [math]\displaystyle{ V = \frac{1}{n!} \det(v_1 - v_0, v_2 - v_0, \dots, v_n - v_0). }[/math]

  • Определитель Кэли — Менгера позволяет вычислить объём симплекса, зная длины его рёбер:

    [math]\displaystyle{ V^2 = \frac{(-1)^{n-1}}{2^n (n!)^2} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 0 & d_{01}^2 & d_{02}^2 & \dots & d_{0n}^2 \\ 1 & d_{10}^2 & 0 & d_{12}^2 & \dots & d_{1n}^2 \\ 1 & d_{20}^2 & d_{21}^2 & 0 & \dots & d_{2n}^2 \\ \vdots&\vdots&\vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\ 1 & d_{n0}^2 & d_{n1}^2 & d_{n2}^2 & \dots & 0 \\ \end{vmatrix}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ d_{ij} = |v_i - v_j| }[/math] — расстояние между i-й и j-й вершинами, n — размерность пространства. Эта формула является обобщением формулы Герона для треугольников.

• Объём правильного n-симплекса с единичной стороной равен [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{n + 1}}{n!\cdot 2^{n/2}} }[/math].

• Радиус [math]\displaystyle{ R }[/math] описанной n-мерной сферы удовлетворяет соотношению

  [math]\displaystyle{ (R \cdot V)^2 = T, }[/math]

где [math]\displaystyle{ V }[/math] — объём симплекса, и

[math]\displaystyle{ T = \frac{(-1)^{n}}{2^{n+1}{(n!)}^2} \begin{vmatrix} 0 & d_{01}^2 & d_{02}^2 & \dots & d_{0n}^2 \\ d_{10}^2 & 0 & d_{12}^2 & \dots & d_{1n}^2 \\ d_{20}^2 & d_{21}^2 & 0 & \dots & d_{2n}^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ d_{n0}^2 & d_{n1}^2 & d_{n2}^2 & \dots & 0 \\ \end{vmatrix}. }[/math]

Построение

Преобразование 1-симплекса в 2-симплекс

Преобразование 2-симплекса в 3-симплекс

Если размерность пространства равна n, то через любые n его точек можно провести гиперплоскость, и существуют множества из n + 1 точки, через которые гиперплоскость провести нельзя. Таким образом, n + 1 — минимальное число таких точек n-мерного пространства, которые не лежат в одной гиперплоскости; эти точки могут служить вершинами n-мерного многогранника.

Простейший n-мерный многогранник с количеством вершин n + 1 как раз и называется симплексом (принято также название «n-мерный тетраэдр»). В пространствах низшей размерности этому определению соответствуют такие фигуры:

• 0-симплекс (точка) — 1 вершина;
• 1-симплекс (отрезок) — 2 вершины;
• 2-симплекс (треугольник) — 3 вершины;
• 3-симплекс (тетраэдр) — 4 вершины.

Все эти фигуры обладают тремя общими свойствами.

1. В соответствии с определением, число вершин у каждой фигуры на единицу больше размерности пространства.
2. Существует общее правило преобразования симплексов низшей размерности в симплексы высшей размерности. Оно заключается в том, что из некоторой точки симплекса проводят луч, не лежащий в аффинной оболочке данного симплекса, и на этом луче выбирают новую вершину, которую соединяют рёбрами со всеми вершинами исходного симплекса.
3. Как следует из описанной в пункте 2 процедуры, любая вершина симплекса соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

Описанная сфера

Вокруг любого n-симплекса в евклидовом пространстве можно описать n-сферу.

Доказательстворазвернуть

Построение описанной 2-сферы вокруг 1-симплекса с дополнительной точкой

Для 1-симплекса это утверждение очевидно. Описанная 1-сфера будет представлять собой две равноудалённые от центра отрезка точки, совпадающие с концами отрезка, и её радиус будет составлять R = a/2. Добавим к 1-симплексу ещё одну точку и попробуем описать вокруг них 2-сферу.

Построим 2-сферу s₀ радиусом a/2 таким образом, чтобы отрезок АВ был её диаметром. Если точка С находится за пределами окружности s₀, то, увеличивая радиус окружности и смещая её в сторону точки С, можно добиться того, что все три точки окажутся на окружности. Если же точка С лежит внутри окружности s₀, то подогнать окружность под эту точку можно, увеличивая её радиус и смещая в сторону, противоположную точке С. Как видно из рисунка, сделать это можно в любом случае, когда точка С не лежит на одной прямой с точками А и В. Не является помехой и несимметричное расположение точки С относительно отрезка АВ.

Рассматривая общий случай, предположим, что существует (n − 1)-сфера S_n−1 радиуса r, описанная вокруг некоторой (n–1)-мерной фигуры. Поместим центр сферы в начало координат. Уравнение сферы будет иметь вид

[math]\displaystyle{ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + \dots + x_{n-1}^2 = r^2. \qquad (1) }[/math]

Построим n-сферу с центром в точке (0, 0, 0, ... 0, h_S) и радиусом R, причём

[math]\displaystyle{ R^2 = r^2 + h_S^2. }[/math]

Уравнение этой сферы

[math]\displaystyle{ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + \dots + x_{n-1}^2 + (x_n - h_S)^2 = r^2 + h_S^2, }[/math]

или

[math]\displaystyle{ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + \dots + x_{n-1}^2 = r^2 - x_n^2 + 2x_nh_S. \qquad (2) }[/math]

Подставив в уравнение (2) x_n = 0, получим уравнение (1). Таким образом, при любом h_S сфера S_n−1 является подмножеством сферы S_n, а именно — её сечением плоскостью x_n = 0.

Предположим, что точка С имеет координаты (x₁, x₂, x₃, ..., x_n ). Преобразуем уравнение (2) к виду

[math]\displaystyle{ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + \dots + x_{n-1}^2 + x_n^2 = r^2 + 2x_nh_S }[/math]

и подставим в него координаты точки С:

[math]\displaystyle{ X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 + \dots + X_{n-1}^2 + X_n^2 = r^2 + 2X_nh_S. }[/math]

Выражение в левой части представляет собой квадрат расстояния R_C от начала координат до точки C, что позволяет привести последнее уравнение к виду

[math]\displaystyle{ R_C^2 = r^2 + 2X_nh_S, }[/math]

откуда можно выразить параметр h_S:

[math]\displaystyle{ h_S = \frac{R_C^2 - r^2}{2X_n}. }[/math]

Очевидно, что h_S существует при любых R_C, X_n и r, кроме X_n = 0. Это значит, что если точка С не лежит в плоскости сферы S_n−1, всегда можно найти такой параметр h_S, что на сфере S_n c центром (0, 0, 0, ..., h_S) будут лежать и сфера S_n−1, и точка С. Таким образом, вокруг любых n + 1 точек можно описать n-сферу, если n из этих точек лежат на одной (n − 1)-сфере, и последняя точка не лежит с ними в одной (n − 1)-плоскости.

Рассуждая по индукции, можно утверждать, что n-сферу можно описать вокруг любых n + 1 точек, если они не лежат в одной (n − 1)-плоскости.

Число граней симплекса

Симплекс имеет n + 1 вершин, каждая из которых соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

Поскольку все вершины симплекса соединены между собой, то тем же свойством обладает и любое подмножество его вершин. Это значит, что любое подмножество из L + 1 вершин симплекса определяют его L-мерную грань, и эта грань сама является L-симплексом. Тогда для симплекса число L-мерных граней равно числу способов выбрать L + 1 вершину из полного набора n + 1 вершин.

Обозначим символом К(L, n) число L-мерных граней в n-многограннике; тогда для n-симплекса

[math]\displaystyle{ K(L, n) = C^{L+1}_{n+1}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ C^k_n }[/math] — число сочетаний из n по k.

В частности, число граней старшей размерности равно числу вершин и равно n + 1:

[math]\displaystyle{ K(0, n) = K(n - 1, n) = n + 1. }[/math]

Соотношения в правильном симплексе

Для правильного n-мерного симплекса обозначим:

• [math]\displaystyle{ a }[/math] — длина стороны;
• [math]\displaystyle{ H_n }[/math] — высота;
• [math]\displaystyle{ V_n }[/math] — объём;
• [math]\displaystyle{ R_n }[/math] — радиус описанной сферы;
• [math]\displaystyle{ r_n }[/math] — радиус вписанной сферы;
• [math]\displaystyle{ \alpha_n }[/math] — двугранный угол.

Тогда

• [math]\displaystyle{ H_n = a\sqrt{\frac{n+1}{2n}}= R_n \frac{n+1}{n} }[/math]
• [math]\displaystyle{ V_n = \frac{a^n}{n!}\sqrt{\frac{n+1}{2^n}}= \frac{R^n_n}{n!} \sqrt{\left( \frac{n+1}{n} \right)^n} }[/math]
• [math]\displaystyle{ R_n = a\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}} }[/math]
• [math]\displaystyle{ r_n = \frac{a}{\sqrt{2n(n+1)}}= \frac{R_n}{n} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{1}{n} }[/math] 
• [math]\displaystyle{ R_n = H_n \frac{n}{n-1} }[/math]
• [math]\displaystyle{ a^2 = H_n^2 + R_{n-1}^2 }[/math]
• [math]\displaystyle{ V_n = \frac{1}{n}V_{n-1}H_n }[/math]
• [math]\displaystyle{ r_n^2 = R_n^2 - R_{n-1}^2 }[/math]

Формулы для правильного симплекса

Число L-мерных граней	[math]\displaystyle{ K(L,n) = \tbinom{n+1}{L+1} }[/math]
Высота	[math]\displaystyle{ H_n = a\sqrt{\frac{n+1}{2n}} }[/math]	[math]\displaystyle{ H_n = R_n \frac{n+1}{n} }[/math]	[math]\displaystyle{ H_2 = a \frac{\sqrt{3}}{2} }[/math]	[math]\displaystyle{ H_3 = a \frac{\sqrt{6}}{3} }[/math]	[math]\displaystyle{ H_4 = a \frac{\sqrt{10}}{4} }[/math]
Объём	[math]\displaystyle{ V_n = \frac{a^n}{n!}\sqrt{\frac{n+1}{2^n}} }[/math]	[math]\displaystyle{ V_n = \frac{R^n_n}{n!} \sqrt{\left( \frac{n+1}{n} \right)^n} }[/math]	[math]\displaystyle{ V_2 = a^2 \frac{\sqrt{3}}{4} }[/math]	[math]\displaystyle{ V_3 = a^3 \frac{\sqrt{2}}{12} }[/math]	[math]\displaystyle{ V_4 = a^4 \frac{\sqrt{5}}{96} }[/math]
Радиус описанной сферы	[math]\displaystyle{ R_n = a\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}} }[/math]	[math]\displaystyle{ a = R_n \sqrt{\frac{2(n+1)}{n}} }[/math]	[math]\displaystyle{ R_2 = a \frac{\sqrt{3}}{3} }[/math]	[math]\displaystyle{ R_3 = a \frac{\sqrt{6}}{4} }[/math]	[math]\displaystyle{ R_4 = a \frac{\sqrt{10}}{5} }[/math]
Радиус вписанной сферы	[math]\displaystyle{ r_n = \frac{a}{\sqrt{2n(n+1)}} }[/math]	[math]\displaystyle{ r_n = \frac{R_n}{n} }[/math]	[math]\displaystyle{ r_2 = a \frac{\sqrt{3}}{6} }[/math]	[math]\displaystyle{ r_3 = a \frac{\sqrt{6}}{12} }[/math]	[math]\displaystyle{ r_4 = a \frac{\sqrt{10}}{20} }[/math]
Двугранный угол	[math]\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{1}{n} }[/math]

Симплексы в топологии

Топологическим симплексом называют подмножество топологического пространства, которое гомеоморфно симплексу некоторого аффинного пространства (или, что то же самое, стандартному симплексу соответствующей размерности). Понятие топологического симплекса лежит в основе теории симплициальных комплексов (симплициальный комплекс — это топологическое пространство, представленное как объединение топологических симплексов, образующих триангуляцию данного пространства).

См. также

• Барицентрические координаты
• Барицентрическое подразделение
• Симплекс-метод
• Симплициальный комплекс
• Пятиячейник
• Теорема косинусов
• Теорема о сумме углов треугольника
• Триангуляция (геометрия)

Литература

• П. С. Александров. Комбинаторная топология. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1947. — 660 с.
• П. С. Александров. Лекции по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1968. — 912 с.
• П. С. Александров, Б. А. Пасынков. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. — М.: Наука, 1973. — 576 с.
• В. Г. Болтянский . Оптимальное управление дискретными системами. — М.: Наука, 1973. — 448 с.
• А. И. Кострикин, Ю. И. Манин. Линейная алгебра и геометрия. 2-е изд. — М.: Наука, 1986. — 304 с.
• Л. С. Понтрягин. Основы комбинаторной топологии. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1947. — 142 с. — С. 23—31.

Ссылки

• Симплекс — статья из Большой советской энциклопедии.