Опоясанный двуклинник

Опоясанный двуклинник
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклый
Комбинаторика
Элементы	24 грани 38 рёбер 16 вершин Χ = 2
Грани	20 треугольников 4 квадрата
Конфигурация вершины	4(32.42) 4(35) 8(34.4)
Развёртка
Классификация
Обозначения	J90, М24
Группа симметрии	D2d

Опоя́санный двукли́нник — один из многогранников Джонсона (J₉₀, по Залгаллеру — М₂₄).

Составлен из 24 граней: 20 правильных треугольников и 4 квадратов. Каждая квадратная грань окружена квадратной и тремя треугольными; среди треугольных граней 12 окружены квадратной и двумя треугольными, остальные 8 — тремя треугольными.

Имеет 38 рёбер одинаковой длины. 2 ребра располагаются между двумя квадратными гранями, 12 рёбер — между квадратной и треугольной, остальные 24 — между двумя треугольными.

У опоясанного двуклинника 16 вершин. В 4 вершинах сходятся две квадратных грани и две треугольных; в 8 вершинах — квадратная и четыре треугольных; в остальных 4 — пять треугольных.

Метрические характеристики

Если опоясанный двуклинник имеет ребро длины [math]\displaystyle{ a }[/math], его площадь поверхности и объём выражаются как

[math]\displaystyle{ S = \left(4+5\sqrt3\right)a^2 \approx 12{,}6602540a^2, }[/math]

[math]\displaystyle{ V \approx 3{,}77763a^3. }[/math]

В координатах

Опоясанный двуклинник с длиной ребра [math]\displaystyle{ 2 }[/math] можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты

• [math]\displaystyle{ \left(\pm1;\;0;\;2\sqrt{1-\xi^2}+\frac{\sqrt{2+8\xi-8\xi^2}}{2}\right), }[/math]
• [math]\displaystyle{ \left(\pm1;\;\pm2\xi;\;\frac{\sqrt{2+8\xi-8\xi^2}}{2}\right), }[/math]

• [math]\displaystyle{ \left(\pm\left(1+\sqrt{\frac{3-4\xi^2}{1-\xi^2}}\right);\;0;\;\frac{1-2\xi^2}{\sqrt{1-\xi^2}}+\frac{\sqrt{2+8\xi-8\xi^2}}{2}\right), }[/math]
• [math]\displaystyle{ \left(0;\;\pm\left(1+\sqrt{\frac{3-4\xi^2}{1-\xi^2}}\right);\;-\frac{1-2\xi^2}{\sqrt{1-\xi^2}}-\frac{\sqrt{2+8\xi-8\xi^2}}{2} \right), }[/math]
• [math]\displaystyle{ \left(\pm2\xi;\;\pm1;\;-\frac{\sqrt{2+8\xi-8\xi^2}}{2}\right), }[/math]
• [math]\displaystyle{ \left(0;\;\pm1;\;-2\sqrt{1-\xi^2}-\frac{\sqrt{2+8\xi-8\xi^2}}{2}\right), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \xi \approx 0{,}7671311 }[/math] — четвёртый по величине после наибольшего действительный корень уравнения

[math]\displaystyle{ 256x^{12}-512x^{11}-1664x^{10}+3712x^9+1552x^8-6592x^7+1248x^6+4352x^5-2024x^4-944x^3+672x^2-24x-23=0. }[/math]

При этом две оси симметрии многогранника будет совпадать с биссектрисами координатных углов плоскости xOy, а две плоскости симметрии — с плоскостями xOz и yOz.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Опоясанный двуклинник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Опоясанный двуклинник в базе знаний Wolfram Alpha