Правильные многомерные многогранники

Правильный n-мерный многогранник — многогранники n-мерного евклидова пространства, которые являются наиболее симметричными в некотором смысле. Правильные трёхмерные многогранники называются также платоновыми телами.

История

Классификация правильных многомерных многогранников была получена Людвигом Шлефли.

Определение

Флагом n-мерного многогранника [math]\displaystyle{ P }[/math] называется набор его граней [math]\displaystyle{ F=(F_0,F_1,\dots,F_{n-1}) }[/math], где [math]\displaystyle{ F_i }[/math] есть [math]\displaystyle{ i }[/math]-мерная грань многогранника Р, причем [math]\displaystyle{ F_i \subseteq F_{n-1} }[/math] для [math]\displaystyle{ i= 1, 2,\dots,n-1 }[/math].

Правильный n-мерный многогранник — это выпуклый n-мерный многогранник [math]\displaystyle{ P }[/math], у которого для любых двух его флагов [math]\displaystyle{ F }[/math] и [math]\displaystyle{ F' }[/math] найдётся движение [math]\displaystyle{ P }[/math], переводящее [math]\displaystyle{ F }[/math] в [math]\displaystyle{ F' }[/math].

Классификация

Размерность 4

Существует 6 правильных четырёхмерных многогранников (многоячейников):

Название	Изображение (диаграмма Шлегеля)	Символ Шлефли	Ячейка	Число ячеек	Число граней	Число рёбер	Число вершин
Пятиячейник		{3,3,3}	правильный тетраэдр	5	10	10	5
Тессеракт		{4,3,3}	куб	8	24	32	16
Шестнадцатиячейник		{3,3,4}	правильный тетраэдр	16	32	24	8
Двадцатичетырёхячейник		{3,4,3}	октаэдр	24	96	96	24
Стодвадцатиячейник		{5,3,3}	додекаэдр	120	720	1200	600
Шестисотячейник		{3,3,5}	правильный тетраэдр	600	1200	720	120

Размерности 5 и выше

В каждой из более высоких размерностей существует по 3 правильных многогранника (политопа):

Название	Символ Шлефли
n-мерный правильный симплекс	{3;3;...;3;3}
n-мерный гиперкуб	{4;3;...;3;3}
n-мерный гипероктаэдр	{3;3;...;3;4}

Геометрические свойства

Углы

Двугранный угол между (n-1)-мерными смежными гранями правильного n-мерного многогранника, заданного своим символом Шлефли [math]\displaystyle{ \{p_1, p_2, p_3, \dots, p_{N-3}, p_{N-2}, p_{N-1}\} }[/math], определяется по формуле:

[math]\displaystyle{ \sin^2\beta=\frac{\cos^2\frac{\pi}{p_{n-1}}}{1-\frac{\cos^2\frac{\pi}{p_{n-2}}}{1-\frac{\cos^2\frac{\pi}{p_{n-3}}}{\frac{\ddots}{1-\frac{\cos^2\frac{\pi}{p_3}}{1-\frac{\cos^2\frac{\pi}{p_2}}{1-\cos^2\frac{\pi}{p_1}}}}}}} }[/math]

где [math]\displaystyle{ \beta }[/math] — половина угла между (n-1)-мерными смежными гранями правильного n-мерного многогранника

Радиусы, объёмы

Радиус вписанной N-мерной сферы:

[math]\displaystyle{ r_N=r_{N-1} \operatorname{tg} {\beta}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ r_{N-1} }[/math] — радиус вписанной (N-1)-мерной сферы грани.

Объём N-мерного многогранника:

[math]\displaystyle{ V_N=\frac{1}{N}V_{N-1}A_{N-1}r_N, }[/math]

где [math]\displaystyle{ V_{N-1} }[/math] — объём (N-1)-мерной грани, [math]\displaystyle{ A_{N-1} }[/math] — количество (N-1)-мерных граней.

Замощения

В размерности n = 4

• Тессерактовые соты
• Шестнадцатиячейниковые соты
• Двадцатичетырёхячейниковые соты

В размерности n ≥ 5

• Гиперкубические соты

См. также

• Платоново тело
• Список правильных многогранников и соединений

Ссылки

• Наглядный пример на YouTube

• Regular Polytopes (Platonic solids) in 4D (неопр.) (недоступная ссылка) (2003). Дата обращения: 30 января 2011. Архивировано 4 мая 2012 года.

• Е. Ю. Смирнов. Группы отражений и правильные многогранники. — М.: МЦНМО, 2009. — 48 с. — ISBN 978-5-94057-525-2.

• Э. Б. Винберг, О. В. Шварцман. Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. — 1988. — Т. 29. — С. 147–259.