Теорема Александрова о развёртке

Теорема Александрова о развёртке — теорема о существовании и единственности замкнутого выпуклого многогранника с данной развёрткой, доказанная Александром Даниловичем Александровым. Единственность в этой теореме является обобщением теоремы Коши о многогранниках и имеет схожее доказательство.

Обобщение этой теоремы на произвольные метрики на сфере сыграло ключевую роль в становлении и развитии Александровской геометрии. Другое доказательство, основанное на деформации трёхмерного многогранного пространства, было предложено Ю. А. Волковым в его кандидатской диссертации 1955 года.

Формулировка

Многогранная метрика на сфере изометрична поверхности выпуклого многогранника тогда и только тогда, когда сумма углов при любой её вершине не превосходит [math]\displaystyle{ 2{\cdot}\pi }[/math]. Более того, многогранник определяется метрикой на своей поверхности с точностью до конгруэнтности.

При этом допускается, что многогранник вырождается в плоский многоугольник, в этом случае поверхность многогранника определяется как удвоение многоугольника в его границе, то есть две копии многоугольника склеенные по соответствующим точкам границы.

Замечания

Развёртка октаэдра из четырёх шестиугольников.

• В оригинальной формулировке Александров пользуется понятием развёртки многогранника на плоскости, то есть набора плоских многоугольников и правил склейки этих многоугольников в многогранную метрику. Одну из таких развёрток можно получить из набора всех граней многогранника с естественным правилом склейки. Однако в общем случае многоугольники развёртки могут перекрываться с несколькими гранями; смотри рисунок.

Вариации и обобщения

• (Теорема Александрова) Внутренняя метрика на сфере изометрична поверхности выпуклого тела тогда и только тогда, когда она имеет неотрицательную кривизну в смысле Александрова. При этом допускается, что тело вырождается в плоскую фигуру, в этом случае поверхность фигуры определяется как её удвоение.
  • (Теорема Погорелова) Более того, выпуклое тело определяется однозначно с точностью до конгруэнтности.
  • (Теорема Оловянишникова) Полная метрика [math]\displaystyle{ d }[/math] на плоскости [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math] изометрична поверхности выпуклого множества [math]\displaystyle{ K\subset \mathbb{R}^3 }[/math] только тогда, когда она имеет неотрицательную кривизну в смысле Александрова. Более того конус на бесконечности [math]\displaystyle{ K }[/math] можно задать произвольно при условии, что его граница изометрична конусу на бесконечности [math]\displaystyle{ (\mathbb{R}^2,d) }[/math].

См. также

• Теорема монотонности Александрова

Литература

• Н. Лебедева и А. Петрунин. Теорема Александрова о вложении многогранников.