Трижды скрученный ромбоикосододекаэдр

Трижды скрученный ромбоикосододекаэдр
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклый
Комбинаторика
Элементы	62 грани 120 рёбер 60 вершин Χ = 2
Грани	20 треугольников 30 квадратов 12 пятиугольников
Конфигурация вершины	5x6(3.42.5) 4x3+3x6(3.4.5.4)
Развёртка
Классификация
Обозначения	J75, 3М6+М13
Группа симметрии	C3v

Три́жды скру́ченный ромбоикосододека́эдр — один из многогранников Джонсона (J₇₅, по Залгаллеру — 3М₆+М₁₃).

Составлен из 62 граней: 20 правильных треугольников, 30 квадратов и 12 правильных пятиугольников. Среди пятиугольных граней 3 окружены пятью квадратными, 3 — четырьмя квадратными и треугольной, остальные 6 — тремя квадратными и двумя треугольными; среди квадратных граней 3 окружены двумя пятиугольными и двумя квадратными, 3 — двумя пятиугольными и двумя треугольными, 9 — двумя пятиугольными, квадратной и треугольной, остальные 15 — пятиугольной, квадратной и двумя треугольными; среди треугольных граней 5 окружены тремя квадратными, остальные 15 — пятиугольной и двумя квадратными.

Имеет 120 рёбер одинаковой длины. 45 рёбер располагаются между пятиугольной и квадратной гранями, 15 рёбер — между пятиугольной и треугольной, 15 рёбер — между двумя квадратными, остальные 45 — между квадратной и треугольной.

У трижды скрученного ромбоикосододекаэдра 60 вершин. В каждой сходятся пятиугольная, две квадратных и треугольная грани.

Трижды скрученный ромбоикосододекаэдр можно получить из ромбоикосододекаэдра, выбрав в нём три части — любые три попарно не пересекающихся пятискатных купола (J₅), — и повернув каждый на 36° вокруг его оси симметрии. Объём и площадь поверхности при этом не изменятся; описанная и полувписанная сферы полученного многогранника также совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного ромбоикосододекаэдра.

Метрические характеристики

Если трижды скрученный ромбоикосододекаэдр имеет ребро длины [math]\displaystyle{ a }[/math], его площадь поверхности и объём выражаются как

[math]\displaystyle{ S = \left(30+5\sqrt3+3\sqrt{25+10\sqrt5}\right)a^2 \approx 59{,}3059828a^2, }[/math]

[math]\displaystyle{ V = \frac{1}{3}\left(60+29\sqrt5\right)a^3 \approx 41{,}6153238a^3. }[/math]

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

[math]\displaystyle{ R = \frac{1}{2}\sqrt{11+4\sqrt5}\;a \approx 2{,}2329505a; }[/math]

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

[math]\displaystyle{ \rho = \frac{1}{2}\sqrt{10+4\sqrt5}\;a \approx 2{,}1762509a. }[/math]

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Трижды скрученный ромбоикосододекаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.