Клинокорона

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Клинокорона
(3D-модель)(3D-модель)
Тип многогранник Джонсона
Свойства выпуклая
Комбинаторика
Элементы
14 граней
22 ребра
10 вершин
Χ = 2
Грани 12 треугольников
2 квадрата
Конфигурация вершины 4(33.4)
2(32.42)
2x2(35)
Классификация
Обозначения J86, М22
Группа симметрии C2v

Клинокоро́на[1][2] — один из многогранников Джонсона (J86, по Залгаллеру — М22).

Составлена из 14 граней: 12 правильных треугольников и 2 квадратов. Каждая квадратная грань окружена одной квадратной и тремя треугольными; среди треугольных граней 6 окружены одной квадратной и двумя треугольными, другие 6 — тремя треугольными.

Имеет 22 ребра одинаковой длины. 1 ребро располагается между двумя квадратными гранями, 6 рёбер — между квадратной и треугольной, остальные 15 — между двумя треугольными.

У клинокороны 10 вершин. В 2 вершинах сходятся две квадратных грани и две треугольных; в 4 вершинах (расположенных как вершины прямоугольника) — одна квадратная и три треугольных; в остальных 4 — пять треугольных.

Метрические характеристики

Если клинокорона имеет ребро длины [math]\displaystyle{ a }[/math], её площадь поверхности и объём выражаются как

[math]\displaystyle{ S = \left(2+3\sqrt3\right)a^2 \approx 7{,}1961524a^2, }[/math]
[math]\displaystyle{ V = \frac{1}{2}\sqrt{1+3\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{13+3\sqrt6}}\;a^3 \approx 1{,}5153516a^3. }[/math]

В координатах

Вид сбоку (проекция на плоскость yOz)
Вид сверху (проекция на плоскость xOy)

Клинокорону с длиной ребра [math]\displaystyle{ 2 }[/math] можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты[2]

  • [math]\displaystyle{ \left(0;\;\pm1;\;2\sqrt{1-\xi^2}\right), }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \left(\pm2\xi;\;\pm1;\;0\right), }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \left(0;\;\pm\left(1+\frac{\sqrt{3-4\xi^2}}{\sqrt{1-\xi^2}}\right);\;\frac{1-2\xi^2}{\sqrt{1-\xi^2}}\right), }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \left(\pm1;\;0;\;-\sqrt{2+4\xi-4\xi^2}\right), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \xi }[/math] — меньший положительный корень уравнения

[math]\displaystyle{ 60x^4-48x^3-100x^2+56x+23=0; }[/math]

данный корень равен[3]

[math]\displaystyle{ \xi = \frac{1}{5}\left(1+\frac{1}{\sqrt6}+\sqrt{\frac{1}{3}\left(71-19\sqrt6\right)}\;\right) \approx 0{,}8527269. }[/math]

При этом ось симметрии многогранника будет совпадать с осью Oz, а две плоскости симметрии — с плоскостями xOz и yOz.

Примечания

  1. Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями / Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1967. — Т. 2. — Cтр. 24.
  2. 2,0 2,1 А. В. Тимофеенко. Несоставные многогранники, отличные от тел Платона и Архимеда  (PDF) / Фундаментальная и прикладная математика, 2008, том 14, выпуск 2. — Стр. 190—192. (Архивная копия от 30 августа 2021 на Wayback Machine)
  3. См. решение уравнения.

Ссылки