Клинокорона
Клинокорона | |||
---|---|---|---|
Тип | многогранник Джонсона | ||
Свойства | выпуклая | ||
Комбинаторика | |||
Элементы |
|
||
Грани |
12 треугольников 2 квадрата |
||
Конфигурация вершины |
4(33.4) 2(32.42) 2x2(35) |
||
Классификация | |||
Обозначения | J86, М22 | ||
Группа симметрии | C2v |
Клинокоро́на[1][2] — один из многогранников Джонсона (J86, по Залгаллеру — М22).
Составлена из 14 граней: 12 правильных треугольников и 2 квадратов. Каждая квадратная грань окружена одной квадратной и тремя треугольными; среди треугольных граней 6 окружены одной квадратной и двумя треугольными, другие 6 — тремя треугольными.
Имеет 22 ребра одинаковой длины. 1 ребро располагается между двумя квадратными гранями, 6 рёбер — между квадратной и треугольной, остальные 15 — между двумя треугольными.
У клинокороны 10 вершин. В 2 вершинах сходятся две квадратных грани и две треугольных; в 4 вершинах (расположенных как вершины прямоугольника) — одна квадратная и три треугольных; в остальных 4 — пять треугольных.
Метрические характеристики
Если клинокорона имеет ребро длины [math]\displaystyle{ a }[/math], её площадь поверхности и объём выражаются как
- [math]\displaystyle{ S = \left(2+3\sqrt3\right)a^2 \approx 7{,}1961524a^2, }[/math]
- [math]\displaystyle{ V = \frac{1}{2}\sqrt{1+3\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{13+3\sqrt6}}\;a^3 \approx 1{,}5153516a^3. }[/math]
В координатах
Клинокорону с длиной ребра [math]\displaystyle{ 2 }[/math] можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты[2]
- [math]\displaystyle{ \left(0;\;\pm1;\;2\sqrt{1-\xi^2}\right), }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left(\pm2\xi;\;\pm1;\;0\right), }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left(0;\;\pm\left(1+\frac{\sqrt{3-4\xi^2}}{\sqrt{1-\xi^2}}\right);\;\frac{1-2\xi^2}{\sqrt{1-\xi^2}}\right), }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left(\pm1;\;0;\;-\sqrt{2+4\xi-4\xi^2}\right), }[/math]
где [math]\displaystyle{ \xi }[/math] — меньший положительный корень уравнения
[math]\displaystyle{ 60x^4-48x^3-100x^2+56x+23=0; }[/math]
данный корень равен[3]
[math]\displaystyle{ \xi = \frac{1}{5}\left(1+\frac{1}{\sqrt6}+\sqrt{\frac{1}{3}\left(71-19\sqrt6\right)}\;\right) \approx 0{,}8527269. }[/math]
При этом ось симметрии многогранника будет совпадать с осью Oz, а две плоскости симметрии — с плоскостями xOz и yOz.
Примечания
- ↑ Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями / Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1967. — Т. 2. — Cтр. 24.
- ↑ 2,0 2,1 А. В. Тимофеенко. Несоставные многогранники, отличные от тел Платона и Архимеда (PDF) / Фундаментальная и прикладная математика, 2008, том 14, выпуск 2. — Стр. 190—192. (Архивная копия от 30 августа 2021 на Wayback Machine)
- ↑ См. решение уравнения.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Клинокорона (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Клинокорона в базе знаний Wolfram Alpha (Архивная копия от 11 июня 2016 на Wayback Machine)