Призма (геометрия)
Множество однородных призм | ||
---|---|---|
| ||
Тип | Однородный многогранник | |
Свойства |
вершинно транзитивный выпуклый многогранник |
|
Комбинаторика | ||
Элементы |
|
|
Грани |
Всего - 2+n 2{n} n {4} |
|
Конфигурация вершины | 4.4.n | |
Двойственный многогранник | Бипирамида | |
Классификация | ||
Символ Шлефли | {n}×{} or t{2, n} | |
Диаграмма Дынкина |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
|
Группа симметрии | Dnh[англ.], [n,2], (*n22), порядок 4n |
При́зма (лат. prisma от др.-греч. πρίσμα «нечто отпиленное») — многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы, а оставшиеся два многоугольника называются её основаниями.
Многоугольник, лежащий в основании, определяет название призмы: треугольник — треугольная призма, четырёхугольник — четырёхугольная; пятиугольник — пятиугольная (пентапризма) и т. д.
Призма является частным случаем цилиндра в общем смысле (некругового).
Элементы призмы
Название | Определение | Обозначения на чертеже | Чертеж |
Основания | Две грани, являющиеся конгруэнтными многоугольниками, лежащими в параллельных друг другу плоскостях. | ![]() | |
Боковые грани | Все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом. | ||
Боковая поверхность | Объединение боковых граней. | ||
Полная поверхность | Объединение оснований и боковой поверхности. | ||
Боковые рёбра | Общие стороны боковых граней. | ||
Высота | Отрезок, соединяющий плоскости, в которых лежат основания призмы и перпендикулярный этим плоскостям. | ||
Диагональ | Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. | ||
Диагональная плоскость | Плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания. | ||
Диагональное сечение | Пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе его частные случаи — ромб, прямоугольник, квадрат. | ||
Перпендикулярное (ортогональное) сечение | Пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной её боковому ребру. |
Свойства призмы
- Основания призмы являются равными многоугольниками.
- Боковые грани призмы являются параллелограммами.
- Боковые рёбра призмы параллельны и равны.
- Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:
- Объём призмы с правильным n-угольным основанием равен
(здесь s — длина стороны многоугольника).
- Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.
- Площадь боковой поверхности произвольной призмы
, где — периметр перпендикулярного сечения, — длина бокового ребра. - Площадь боковой поверхности прямой призмы
, где — периметр основания призмы, — высота призмы. - Площадь боковой поверхности прямой призмы с правильным n-угольным основанием равна
- Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы.
- Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.
- Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.
- Двойственным многогранником прямой призмы является бипирамида.
Виды призм
- Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.
Прямая призма — это призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, откуда следует, что все боковые грани являются прямоугольниками[1].
- Прямая прямоугольная призма называется также прямоугольным параллелепипедом. Символ Шлефли такой призмы — { }×{ }×{ }.
Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.
- Правильная призма, боковые грани которой являются квадратами (высота которой равна стороне основания), является полуправильным многогранником. Символ Шлефли такой призмы — t{2,p}.
![](https://cdn.xn--h1ajim.xn--p1ai/thumb.php?f=TruncatedTriangularPrism.png&width=174)
- Прямые призмы с правильными основаниями и одинаковыми длинами рёбер образуют одну из двух бесконечных последовательностей полуправильных многогранников (другую последовательность образуют антипризмы).
Наклонными называются призмы, рёбра которых не перпендикулярны плоскости основания.
Усечённая призма — многогранник, который отсекается от призмы непараллельной основанию плоскостью[2]. Усечённая призма сама призмой не является.
Диаграммы Шлегеля
![]() Треугольная призма |
![]() 4-угольная призма |
![]() 5-угольная призма |
![]() 6-угольная призма |
![]() 7-угольная призма |
![]() 8-угольная призма |
Симметрия
Группой симметрии прямой n-угольной призмы с правильным основанием является группа Dnh порядка 4n, за исключением куба, который имеет группу симметрии Oh[англ.] порядка 48, содержащую три версии D4h в качестве подгрупп. Группой вращений[англ.] является Dn порядка 2n, за исключением случая куба, для которого группой вращений является группа O[англ.] порядка 24, имеющая три версии D4 в качестве подгрупп.
Группа симметрии Dnh включает центральную симметрию в том и только в том случае, когда n чётно.
Обобщения
Призматические многогранники
Призматический многогранник — это обобщение призмы в пространствах размерности 4 и выше. n-мерный призматический многогранник конструируется из двух (n − 1)-мерных многогранников, перенесённых в следующую размерность.
Элементы призматического n-мерного многогранника удваиваются из элементов (n − 1)-мерного многогранника, затем создаются новые элементы следующего уровня.
Возьмём n-мерный многогранник с элементами
По размерностям:
- Берём многоугольник с n вершинами и n сторонами. Получим призму с 2n вершинами, 3n рёбрами и
гранями. - Берём многогранник с v вершинами, e рёбрами и f гранями. Получаем (4-мерную) призму с 2v вершинами,
рёбрами, гранями и ячейками. - Берём 4-мерный многогранник с v вершинами, e рёбрами, f гранями и c ячейками. Получаем (5-мерную) призму с 2v вершинами,
рёбрами, (2-мерными) гранями, ячейками и гиперячейками.
Однородные призматические многогранники
Правильный n-многогранник, представленный символом Шлефли {p, q, ..., t}, может образовать однородный призматический многогранник размерности (n + 1), представленный прямым произведением двух символов Шлефли: {p, q, ..., t}×{}.
По размерностям:
- Призма из 0-мерного многогранника — это отрезок, представленный пустым символом Шлефли {}.
- Призма из 1-мерного многогранника — это прямоугольник, полученный из двух отрезков. Эта призма представляется как произведение символов Шлефли {}×{}. Если призма является квадратом, запись можно сократить: {}×{} = {4}.
- многоугольная призма — это 3-мерная призма, полученная из двух многоугольников (один получен параллельным переносом другого), которые связаны прямоугольниками. Из правильного многоугольника {p} можно получить однородную n-угольную призму, представленную произведением {p}×{}. Если p = 4, призма становится кубом: {4}×{} = {4, 3}.
Пример: Пятиугольная призма, {5}×{}, два параллельных пятиугольника связаны пятью прямоугольными сторонами.
- 4-мерная призма, полученная из двух многогранников (один получен параллельным переносом другого), со связывающими 3-мерными призматическими ячейками. Из правильного многогранника {p, q} можно получить однородную 4-мерную призму, представленную произведением {p, q}×{}. Если многогранник является кубом и стороны призмы тоже кубы, призма превращается в тессеракт: {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
Пример: додекаэдральная призма[англ.], {5, 3}×{}, два параллельных додекаэдра, соединённых 12 пятиугольными призмами (сторонами).
- …
Призматические многогранники более высоких размерностей также существуют как прямые произведения двух любых многогранников. Размерность призматического многогранника равна произведению размерностей элементов произведения. Первый пример такого произведения существует в 4-мерном пространстве и называется дуопризмами, которые получаются произведением двух многоугольников. Правильные дуопризмы представляются символом {p}×{q}.
Многоугольник | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Мозаика | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | ||||
Конфигурация | 3.4.4 | 4.4.4 | 5.4.4 | 6.4.4 | 7.4.4 | 8.4.4 | 9.4.4 | 10.4.4 | 11.4.4 | 12.4.4 | 17.4.4 | ∞.4.4 |
Скрученная призма и антипризма
Скрученная призма — это невыпуклый призматический многогранник, полученный из однородной q-угольной путём деления боковых граней диагональю и вращения верхнего основания, обычно на угол
Скрученная призма не может быть разбита на тетраэдры без введения новых вершин. Простейший пример с треугольными основаниями называется многогранником Шёнхардта.
Скрученная призма топологически идентична антипризме, но имеет половину симметрий: Dn, [n,2]+, порядка 2n. Эту призму можно рассматривать как выпуклую антипризму, у которой удалены тетраэдры между парами треугольников.
Треугольная | Четырёхугольные | 12-угольная | |
---|---|---|---|
Многогранник Шёнхардта |
![]() Скрученная квадратная антипризма |
![]() Квадратная антипризма |
![]() Скрученная двенадцатиугольная антипризма |
Связанные многогранники и мозаики
Многоугольник | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Мозаика | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | ||||
Конфигурация | 3.4.4 | 4.4.4 | 5.4.4 | 6.4.4 | 7.4.4 | 8.4.4 | 9.4.4 | 10.4.4 | 11.4.4 | 12.4.4 | 17.4.4 | ∞.4.4 |
Симметрии
Призмы топологически являются частью последовательности однородных усечённых многогранников с конфигурациями вершин (3.2n.2n) и [n,3]. Шаблон:Таблица-1 усечённых фигур
Призмы топологически являются частью последовательности скошенных многогранников с вершинными фигурами (3.4.n.4) и мозаик на гиперболической плоскости. Эти вершинно транзитивные фигуры имеют (*n32) зеркальную симметрию[англ.].
Шаблон:Малая таблица расширенных мозаик
Соединение многогранников
Существует 4 однородных соединения треугольных призм:
- Соединение четырёх треугольных призм[англ.], соединение восьми треугольных призм[англ.], соединение десяти треугольных призм[англ.], соединение двенадцати треугольных призм[англ.].
Соты
Существует 9 однородных сот, включающих ячейки в виде треугольных призм:
- гироудлинённые альтернированные кубические соты[англ.],
- удлинённые альтернированные кубические соты[англ.],
- повёрнутые треугольные призматические соты,
- плосконосые квадратные призматические соты[англ.],
- треугольные призматические соты,
- треугольно-шестиугольные призматические соты,
- усечённые шестиугольные призматические соты,
- ромботришестиугольные призматические соты,
- плосконосые шестиугольные призматические соты,
- удлинённые треугольные призматические соты.
Связанные многогранники
Треугольная призма является первым многогранником в ряду полуправильных многогранников[англ.]. Каждый последующий однородный многогранник содержит в качестве вершинной фигуры предыдущий многогранник. Торольд Госсет[англ.] идентифицировал эту серию в 1900 как содержащую все фасеты правильных многомерных многогранников, все симплексы и ортоплексы (правильные треугольники и квадраты для случая треугольных призм). В нотации Коксетера треугольная призма задаётся символом −121. Шаблон:Многогранники K 21
Четырёхмерное пространство
Треугольная призма служит ячейкой во множестве четырёхмерных однородных 4-мерных многогранников[англ.], включая:
См. также
Примечания
- ↑ Kern, Bland, 1938, с. 28.
- ↑ Усечённая призма // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
- ↑ Gorini, 2003, с. 172.
- ↑ Рисунки скрученных призм . Дата обращения: 28 января 2019. Архивировано 29 января 2019 года.
Литература
- William F. Kern, James R. Bland. Solid Mensuration with proofs. — 1938.
- Catherine A. Gorini. The facts on file: Geometry handbook. — New York: Infobase Publishing, 2003. — (Facts on file). — ISBN 0-8160-4875-4.
- Anthony Pugh. Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms // Polyhedra: A visual approach. — California: University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Prism (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- George Olshevsky. «Prismatic polytope». Glossary for Hyperspace.
- Nonconvex Prisms and Antiprisms (недоступная ссылка с 12-03-2018 [2534 дня])
- Surface Area MATHguide
- Volume MATHguide
- Paper models of prisms and antiprisms Развёртки призм и антипризм
- Paper models of prisms and antiprisms Развёртки, созданные системой Stella[англ.].
- Stella: Polyhedron Navigator: Программы для создания 3D- и 4D-изображений, приведённых на этой странице.
Для улучшения этой статьи желательно: |