Призма (геометрия)

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
У этого термина существуют и другие значения, см. Призма.
Множество однородных призм
Шестиугольная призмаШестиугольная призма
Тип Однородный многогранник
Свойства вершинно транзитивный
выпуклый многогранник
Комбинаторика
Элементы
3n ребра
2n вершины
Грани Всего - 2+n
2{n}
n {4}
Конфигурация вершины 4.4.n
Двойственный многогранник Бипирамида
Развёртка
Классификация
Символ Шлефли {n}×{} or t{2, n}
Диаграмма Дынкина
Группа симметрии Dnh[англ.], [n,2], (*n22), порядок 4n

При́зма (лат. prisma от др.-греч. πρίσμα «нечто отпиленное») — многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы, а оставшиеся два многоугольника называются её основаниями.

Многоугольник, лежащий в основании, определяет название призмы: треугольник — треугольная призма, четырёхугольник — четырёхугольная; пятиугольник — пятиугольная (пентапризма) и т. д.

Призма является частным случаем цилиндра в общем смысле (некругового).

Элементы призмы

Название Определение Обозначения на чертеже Чертеж
Основания Две грани, являющиеся конгруэнтными многоугольниками, лежащими в параллельных друг другу плоскостях. [math]\displaystyle{ ABCDE }[/math], [math]\displaystyle{ KLMNP }[/math]
Призма
Призма
Боковые грани Все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом. [math]\displaystyle{ ABLK }[/math], [math]\displaystyle{ BCML }[/math], [math]\displaystyle{ CDNM }[/math], [math]\displaystyle{ DEPN }[/math], [math]\displaystyle{ EAKP }[/math]
Боковая поверхность Объединение боковых граней.
Полная поверхность Объединение оснований и боковой поверхности.
Боковые рёбра Общие стороны боковых граней. [math]\displaystyle{ AK }[/math], [math]\displaystyle{ BL }[/math], [math]\displaystyle{ CM }[/math], [math]\displaystyle{ DN }[/math], [math]\displaystyle{ EP }[/math]
Высота Отрезок, соединяющий плоскости, в которых лежат основания призмы и перпендикулярный этим плоскостям. [math]\displaystyle{ KR }[/math]
Диагональ Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. [math]\displaystyle{ BP }[/math]
Диагональная плоскость Плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания. [math]\displaystyle{ EBP }[/math]
Диагональное сечение Пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе его частные случаи — ромб, прямоугольник, квадрат. [math]\displaystyle{ EBLP }[/math]
Перпендикулярное (ортогональное) сечение Пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной её боковому ребру.

Свойства призмы

  • Основания призмы являются равными многоугольниками.
  • Боковые грани призмы являются параллелограммами.
  • Боковые рёбра призмы параллельны и равны.
  • Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:
[math]\displaystyle{ V=S\cdot h }[/math]
  • Объём призмы с правильным n-угольным основанием равен
[math]\displaystyle{ V = \frac{n}{4}hs^2 \mathrm{ctg}\frac{\pi}{n} }[/math] (здесь s — длина стороны многоугольника).
  • Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.
  • Площадь боковой поверхности произвольной призмы [math]\displaystyle{ S=P\cdot l }[/math], где [math]\displaystyle{ P }[/math] — периметр перпендикулярного сечения, [math]\displaystyle{ l }[/math] — длина бокового ребра.
  • Площадь боковой поверхности прямой призмы [math]\displaystyle{ S=P\cdot h }[/math], где [math]\displaystyle{ P }[/math] — периметр основания призмы, [math]\displaystyle{ h }[/math] — высота призмы.
  • Площадь боковой поверхности прямой призмы с правильным n-угольным основанием равна
[math]\displaystyle{ A = \frac{n}{2} s^2 \mathrm{ctg}{\frac{\pi}{n}} + n s h. }[/math]
  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы.
  • Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.
  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.
  • Двойственным многогранником прямой призмы является бипирамида.

Виды призм

Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.

Прямая призма — это призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, откуда следует, что все боковые грани являются прямоугольниками[1].

Прямая прямоугольная призма называется также прямоугольным параллелепипедом. Символ Шлефли такой призмы — { }×{ }×{ }.

Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.

Правильная призма, боковые грани которой являются квадратами (высота которой равна стороне основания), является полуправильным многогранником. Символ Шлефли такой призмы — t{2,p}.
Усечённая треугольная призма
Прямые призмы с правильными основаниями и одинаковыми длинами рёбер образуют одну из двух бесконечных последовательностей полуправильных многогранников (другую последовательность образуют антипризмы).

Наклонными называются призмы, рёбра которых не перпендикулярны плоскости основания.

Усечённая призма — многогранник, который отсекается от призмы непараллельной основанию плоскостью[2]. Усечённая призма сама призмой не является.

Диаграммы Шлегеля

Основная статья: Диаграмма Шлегеля

Треугольная
призма
4-угольная
призма
5-угольная
призма
6-угольная
призма
7-угольная
призма
8-угольная
призма

Симметрия

Группой симметрии прямой n-угольной призмы с правильным основанием является группа Dnh порядка 4n, за исключением куба, который имеет группу симметрии Oh[англ.] порядка 48, содержащую три версии D4h в качестве подгрупп. Группой вращений[англ.] является Dn порядка 2n, за исключением случая куба, для которого группой вращений является группа O[англ.] порядка 24, имеющая три версии D4 в качестве подгрупп.

Группа симметрии Dnh включает центральную симметрию в том и только в том случае, когда n чётно.

Обобщения

Призматические многогранники

Призматический многогранник — это обобщение призмы в пространствах размерности 4 и выше. n-мерный призматический многогранник конструируется из двух (n − 1)-мерных многогранников, перенесённых в следующую размерность.

Элементы призматического n-мерного многогранника удваиваются из элементов (n − 1)-мерного многогранника, затем создаются новые элементы следующего уровня.

Возьмём n-мерный многогранник с элементами [math]\displaystyle{ f_i }[/math] (i-мерная грань, i = 0, …, n). Призматический ([math]\displaystyle{ n + 1 }[/math])-мерный многогранник будет иметь [math]\displaystyle{ 2f_i + f_{-1} }[/math] элементов размерности i (при [math]\displaystyle{ f_{-1}=0 }[/math], [math]\displaystyle{ f_n=1 }[/math]).

По размерностям:

  • Берём многоугольник с n вершинами и n сторонами. Получим призму с 2n вершинами, 3n рёбрами и [math]\displaystyle{ 2 + n }[/math] гранями.
  • Берём многогранник с v вершинами, e рёбрами и f гранями. Получаем (4-мерную) призму с 2v вершинами, [math]\displaystyle{ 2e + v }[/math] рёбрами, [math]\displaystyle{ 2f + e }[/math] гранями и [math]\displaystyle{ 2 + f }[/math] ячейками.
  • Берём 4-мерный многогранник с v вершинами, e рёбрами, f гранями и c ячейками. Получаем (5-мерную) призму с 2v вершинами, [math]\displaystyle{ 2e + v }[/math] рёбрами, [math]\displaystyle{ 2f + e }[/math] (2-мерными) гранями, [math]\displaystyle{ 2c + f }[/math] ячейками и [math]\displaystyle{ 2 + c }[/math] гиперячейками.

Однородные призматические многогранники

Правильный n-многогранник, представленный символом Шлефли {p, q, ..., t}, может образовать однородный призматический многогранник размерности (n + 1), представленный прямым произведением двух символов Шлефли: {p, q, ..., t}×{}.

По размерностям:

  • Призма из 0-мерного многогранника — это отрезок, представленный пустым символом Шлефли {}.
  • Призма из 1-мерного многогранника — это прямоугольник, полученный из двух отрезков. Эта призма представляется как произведение символов Шлефли {}×{}. Если призма является квадратом, запись можно сократить: {}×{} = {4}.
    • Пример: Квадрат, {}×{}, два параллельных отрезка, соединённые двумя другими отрезками, сторонами.
  • многоугольная призма — это 3-мерная призма, полученная из двух многоугольников (один получен параллельным переносом другого), которые связаны прямоугольниками. Из правильного многоугольника {p} можно получить однородную n-угольную призму, представленную произведением {p}×{}. Если p = 4, призма становится кубом: {4}×{} = {4, 3}.
  • 4-мерная призма, полученная из двух многогранников (один получен параллельным переносом другого), со связывающими 3-мерными призматическими ячейками. Из правильного многогранника {p, q} можно получить однородную 4-мерную призму, представленную произведением {p, q}×{}. Если многогранник является кубом и стороны призмы тоже кубы, призма превращается в тессеракт: {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
  • …

Призматические многогранники более высоких размерностей также существуют как прямые произведения двух любых многогранников. Размерность призматического многогранника равна произведению размерностей элементов произведения. Первый пример такого произведения существует в 4-мерном пространстве и называется дуопризмами, которые получаются произведением двух многоугольников. Правильные дуопризмы представляются символом {p}×{q}.

Семейство правильных призм
Многоугольник
Мозаика
Конфигурация 3.4.4 4.4.4 5.4.4 6.4.4 7.4.4 8.4.4 9.4.4 10.4.4 11.4.4 12.4.4 17.4.4 ∞.4.4

Скрученная призма и антипризма

Скрученная призма — это невыпуклый призматический многогранник, полученный из однородной q-угольной путём деления боковых граней диагональю и вращения верхнего основания, обычно на угол [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{q} }[/math] радиан ([math]\displaystyle{ \frac{180}{q} }[/math] градусов), в направлении, при котором стороны становятся вогнутыми[3][4].

Скрученная призма не может быть разбита на тетраэдры без введения новых вершин. Простейший пример с треугольными основаниями называется многогранником Шёнхардта.

Скрученная призма топологически идентична антипризме, но имеет половину симметрий: Dn, [n,2]+, порядка 2n. Эту призму можно рассматривать как выпуклую антипризму, у которой удалены тетраэдры между парами треугольников.

Треугольная Четырёхугольные 12-угольная

Многогранник Шёнхардта
Скрученная квадратная антипризма
Квадратная антипризма
Скрученная двенадцатиугольная антипризма

Связанные многогранники и мозаики

Семейство правильных призм
Многоугольник
Мозаика
Конфигурация 3.4.4 4.4.4 5.4.4 6.4.4 7.4.4 8.4.4 9.4.4 10.4.4 11.4.4 12.4.4 17.4.4 ∞.4.4

Шаблон:Купола

Симметрии

Призмы топологически являются частью последовательности однородных усечённых многогранников с конфигурациями вершин (3.2n.2n) и [n,3]. Шаблон:Таблица-1 усечённых фигур

Призмы топологически являются частью последовательности скошенных многогранников с вершинными фигурами (3.4.n.4) и мозаик на гиперболической плоскости. Эти вершинно транзитивные фигуры имеют (*n32) зеркальную симметрию[англ.].

Шаблон:Малая таблица расширенных мозаик

Соединение многогранников

Существует 4 однородных соединения треугольных призм:

Соединение четырёх треугольных призм[англ.], соединение восьми треугольных призм[англ.], соединение десяти треугольных призм[англ.], соединение двенадцати треугольных призм[англ.].

Соты

Существует 9 однородных сот, включающих ячейки в виде треугольных призм:

Связанные многогранники

Треугольная призма является первым многогранником в ряду полуправильных многогранников[англ.]. Каждый последующий однородный многогранник содержит в качестве вершинной фигуры предыдущий многогранник. Торольд Госсет[англ.] идентифицировал эту серию в 1900 как содержащую все фасеты правильных многомерных многогранников, все симплексы и ортоплексы (правильные треугольники и квадраты для случая треугольных призм). В нотации Коксетера треугольная призма задаётся символом −121. Шаблон:Многогранники K 21

Четырёхмерное пространство

Треугольная призма служит ячейкой во множестве четырёхмерных однородных 4-мерных многогранников[англ.], включая:

тетраэдральная призма[англ.]
 октаэдральная призма[англ.]
 кубооктаэдральная призма[англ.]
 икосаэдральная призма[англ.]
 икосододекаэдральная призма[англ.]
 усечённая додекаэдральная призма[англ.]
ромбоикоси-
додекаэдральная призма[англ.]
 ромбокуб-
октаэдральная призма[англ.]
 усечённая кубическая призма[англ.]
 плосконосая додекаэдральная призма[англ.]
 n-угольная антипризматическая призма[англ.]
скошенный 5-ячейник[англ.]
 скошено-усечённый 5-ячейник[англ.]
 обструганный 5-ячейник[англ.]
 струг-усечённый 5-ячейник[англ.]
 скошенный тессеракт[англ.]
 скошено-усечённый тессеракт[англ.]
 обструганный тессеракт[англ.]
 струг-усечённый тессеракт[англ.]
скошенный 24-ячейник[англ.]
 скошено-усечённый 24-ячейник[англ.]
 обструганный 24-ячейник[англ.]
 струг-усечённый 24-ячейник[англ.]
 скошенный 120-ячейник[англ.]
 скошено-усечённый 120-ячейник[англ.]
 обструганный 120-ячейник[англ.]
 струг-усечённый 120-ячейник[англ.]

См. также


Примечания

  1. ↑ Kern, Bland, 1938, с. 28.
  2. ↑ Усечённая призма // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
  3. ↑ Gorini, 2003, с. 172.
  4. ↑ Рисунки скрученных призм. Дата обращения: 28 января 2019. Архивировано 29 января 2019 года.

Литература

  • William F. Kern, James R. Bland. Solid Mensuration with proofs. — 1938.
  • Catherine A. Gorini. The facts on file: Geometry handbook. — New York: Infobase Publishing, 2003. — (Facts on file). — ISBN 0-8160-4875-4.
  • Anthony Pugh. Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms // Polyhedra: A visual approach. — California: University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7.

Ссылки

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Призма_(геометрия)&oldid=5877428