Правильный тетраэдр

Правильный тетраэдр
Тип	правильный многогранник
Комбинаторика
Элементы	4 грани 6 рёбер 4 вершины Χ = 2
Грани	правильные треугольники
Конфигурация вершины	3.3.3
Двойственный многогранник	тоже правильный тетраэдр
Классификация
Группа симметрии	[math]\displaystyle{ T_d \cong S_4 }[/math]
Количественные данные
Длина ребра	[math]\displaystyle{ a }[/math]
Площадь поверхности	[math]\displaystyle{ \sqrt3a^2 }[/math]
Объём	[math]\displaystyle{ \frac{\sqrt2}{12}a^3 }[/math]
Телесный угол при вершине	[math]\displaystyle{ \arccos\frac{23}{27}\approx 0.55129 }[/math] ср

Тетраэдр называется правильным, если все его грани — равносторонние треугольники.

У правильного тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны.

Свойства правильного тетраэдра

• Каждая его вершина является вершиной трех равносторонних треугольников. А значит, сумма плоских углов при каждой вершине будет равна [math]\displaystyle{ \pi }[/math].
• В правильный тетраэдр можно вписать октаэдр, притом четыре из восьми граней октаэдра будут совмещены с серединными треугольниками четырёх граней тетраэдра, а все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра.
  • Правильный тетраэдр с ребром [math]\displaystyle{ x }[/math] состоит из одного вписанного октаэдра (в центре) с ребром [math]\displaystyle{ \frac{x}{2} }[/math] и четырёх тетраэдров (по вершинам) с ребром [math]\displaystyle{ \frac{x}{2} }[/math].
• Правильный тетраэдр можно вписать в куб, притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба, а все шесть рёбер тетраэдра будут совмещены с диагоналями граней куба.

• Объём правильного тетраэдра равен [math]\displaystyle{ V=\frac{\sqrt2}{12}a^3 }[/math]
• Площадь поверхности равна [math]\displaystyle{ {\sqrt3}a^2 }[/math]
• Радиус вписанной сферы равен [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt6}{12}a }[/math]
• Радиус описанной сферы равен [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt6}{4}a }[/math]
• Радиус полувписанной сферы равен [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt2}{4}a }[/math]
• Высота правильного тетраэдра равна [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt6}{3}a }[/math] = радиус вписанной сферы + радиус описанной сферы = [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt6}{12}a + \frac{\sqrt6}{4}a }[/math]
• Угол между двумя гранями равен [math]\displaystyle{ \arccos{\frac{1}{3}}\approx70{,}53^\circ }[/math]

Интересные факты

Середины граней правильного тетраэдра также образуют правильный тетраэдр.

Соотношения:

• рёбер и высот правильных тетраэдров, радиусов вписанных, описанных и полувписанных сфер соответственно равны [math]\displaystyle{ \frac{1}{3} }[/math];
• площадей поверхности равно [math]\displaystyle{ \frac{1}{9} }[/math];
• объёмов равно [math]\displaystyle{ \frac{1}{27} }[/math].

Autodualité du tétraèdre régulier.