Правильный тетраэдр
Правильный тетраэдр | |||
---|---|---|---|
![]() | |||
![]() | |||
Тип | правильный многогранник | ||
Комбинаторика | |||
Элементы |
|
||
Грани | правильные треугольники | ||
Конфигурация вершины | 3.3.3 | ||
Двойственный многогранник | тоже правильный тетраэдр | ||
Классификация | |||
Группа симметрии | [math]\displaystyle{ T_d \cong S_4 }[/math] | ||
Количественные данные | |||
Длина ребра | [math]\displaystyle{ a }[/math] | ||
Площадь поверхности | [math]\displaystyle{ \sqrt3a^2 }[/math] | ||
Объём | [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt2}{12}a^3 }[/math] | ||
Телесный угол при вершине | [math]\displaystyle{ \arccos\frac{23}{27}\approx 0.55129 }[/math] ср |
Тетраэдр называется правильным, если все его грани — равносторонние треугольники.
У правильного тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны.
Свойства правильного тетраэдра
- Каждая его вершина является вершиной трех равносторонних треугольников. А значит, сумма плоских углов при каждой вершине будет равна [math]\displaystyle{ \pi }[/math].
- В правильный тетраэдр можно вписать октаэдр, притом четыре из восьми граней октаэдра будут совмещены с серединными треугольниками четырёх граней тетраэдра, а все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра.
- Правильный тетраэдр с ребром [math]\displaystyle{ x }[/math] состоит из одного вписанного октаэдра (в центре) с ребром [math]\displaystyle{ \frac{x}{2} }[/math] и четырёх тетраэдров (по вершинам) с ребром [math]\displaystyle{ \frac{x}{2} }[/math].
- Правильный тетраэдр можно вписать в куб, притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба, а все шесть рёбер тетраэдра будут совмещены с диагоналями граней куба.
- Объём правильного тетраэдра равен [math]\displaystyle{ V=\frac{\sqrt2}{12}a^3 }[/math][1]
- Площадь поверхности равна [math]\displaystyle{ {\sqrt3}a^2 }[/math][1]
- Радиус вписанной сферы равен [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt6}{12}a }[/math][1]
- Радиус описанной сферы равен [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt6}{4}a }[/math][1]
- Радиус полувписанной сферы равен [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt2}{4}a }[/math][1]
- Высота правильного тетраэдра равна [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt6}{3}a }[/math] = радиус вписанной сферы + радиус описанной сферы = [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt6}{12}a + \frac{\sqrt6}{4}a }[/math]
- Угол между двумя гранями равен [math]\displaystyle{ \arccos{\frac{1}{3}}\approx70{,}53^\circ }[/math]
Интересные факты
Середины граней правильного тетраэдра также образуют правильный тетраэдр.
Соотношения:
- рёбер и высот правильных тетраэдров, радиусов вписанных, описанных и полувписанных сфер соответственно равны [math]\displaystyle{ \frac{1}{3} }[/math];
- площадей поверхности равно [math]\displaystyle{ \frac{1}{9} }[/math];
- объёмов равно [math]\displaystyle{ \frac{1}{27} }[/math].
Примечания
Литература
В статье не хватает ссылок на источники (см. также рекомендации по поиску). |
- Harold Scott MacDonald Coxeter. Table I(i) // Regular Polytopes. — Methuen and Co., 1948.