Икосододекаэдр

Икосододекаэдр
(вращающаяся модель, 3D-модель)
-
Тип	архимедово тело
Свойства	выпуклый, изогональный, квазиправильный
Комбинаторика
Элементы	32 грани 60 рёбер 30 вершин Χ = 2
Грани	20 треугольников 12 пятиугольников
Конфигурация вершины	3.5.3.5
Двойственный многогранник	ромботриаконтаэдр
Развёртка
Классификация
Обозначения	aD
Символ Шлефли	r{3,5}
Группа симметрии	Ih (икосаэдрическая)

Икосододека́эдр — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 32 гранями, составленный из 20 правильных треугольников и 12 правильных пятиугольников.

В каждой из его 30 одинаковых вершин сходятся две пятиугольных грани и две треугольных. Телесный угол при вершине равен [math]\displaystyle{ \pi + \arccos \frac{3+16\sqrt5}{45} \approx 1{,}17\pi. }[/math]

Икосододекаэдр имеет 60 рёбер равной длины. Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен [math]\displaystyle{ \arccos\left(-\sqrt{\frac{5+2\sqrt5}{15}}\right) \approx 142,62^\circ. }[/math]

Икосододекаэдр можно получить из икосаэдра, «срезав» с него 12 правильных пятиугольных пирамид; либо из додекаэдра, «срезав» с него 20 правильных треугольных пирамид; либо как пересечение имеющих общий центр икосаэдра и додекаэдра.

Иллюстрация Леонардо да Винчи к трактату Луки Пачоли «О божественной пропорции» (1509)

В координатах

Икосододекаэдр с длиной ребра [math]\displaystyle{ 2 }[/math] можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными циклическими перестановками наборов чисел

• [math]\displaystyle{ \left(0;\;0;\;\pm2\Phi\right), }[/math]
• [math]\displaystyle{ \left(\pm1;\;\pm\Phi;\;\pm\Phi^2\right), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \Phi = \frac{1+\sqrt5}{2} }[/math] — отношение золотого сечения.

Начало координат [math]\displaystyle{ (0;0;0) }[/math] будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Метрические характеристики

Если икосододекаэдр имеет ребро длины [math]\displaystyle{ a }[/math], его площадь поверхности и объём выражаются как

[math]\displaystyle{ S = \left(5\sqrt3+3\sqrt{25+10\sqrt5}\right)a^2 \approx 29{,}3059828a^2, }[/math]

[math]\displaystyle{ V = \frac{1}{6}\left(45+17\sqrt5\right)a^3 \approx 13{,}8355259a^3. }[/math]

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

[math]\displaystyle{ R = \frac{1}{2}\left(1+\sqrt5\right)a = \Phi a \approx 1{,}6180340a, }[/math]

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

[math]\displaystyle{ \rho = \frac{1}{2}\sqrt{5+2\sqrt5}\;a \approx 1{,}5388418a. }[/math]

Вписать в икосододекаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри икосододекаэдра с ребром [math]\displaystyle{ a }[/math] (она будет касаться только всех пятиугольных граней в их центрах), равен

[math]\displaystyle{ r_5 = \sqrt{\frac{5+2\sqrt5}{5}}\;a \approx 1{,}3763819a. }[/math]

Расстояние от центра многогранника до любой треугольной грани превосходит [math]\displaystyle{ r_5 }[/math] и равно

[math]\displaystyle{ r_3 = \sqrt{\frac{7+3\sqrt5}{6}}\;a \approx 1{,}5115226a. }[/math]

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Икосододекаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

• М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
• Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382—447. — 568 с. — 20 000 экз.
• Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.