Дважды противоположно наращённый усечённый додекаэдр

Дважды противоположно наращённый усечённый додекаэдр
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклый
Комбинаторика
Элементы	52 грани 120 рёбер 70 вершин Χ = 2
Грани	30 треугольников 10 квадратов 2 пятиугольника 10 десятиугольников
Конфигурация вершины	2x10+20(3.102) 10(3.4.5.4) 20(3.4.3.10)
Развёртка
Классификация
Обозначения	J69, М6+М12+М6
Группа симметрии	D5d

Два́жды противополо́жно наращённый усечённый додека́эдр — один из многогранников Джонсона (J₆₉, по Залгаллеру — М₆+М₁₂+М₆).

Составлен из 52 граней: 30 правильных треугольников, 10 квадратов, 2 правильных пятиугольников и 10 правильных десятиугольников. Каждая десятиугольная грань окружена четырьмя десятиугольными и шестью треугольными; каждая пятиугольная грань окружена пятью квадратными; каждая квадратная грань окружена пятиугольной и тремя треугольными; среди треугольных 10 граней окружены тремя десятиугольными, 10 граней — двумя десятиугольными и квадратной, остальные 10 — десятиугольной и двумя квадратными.

Имеет 120 рёбер одинаковой длины. 20 рёбер располагаются между двумя десятиугольными гранями, 60 рёбер — между десятиугольной и треугольной, 10 рёбер — между пятиугольной и квадратной, остальные 30 — между квадратной и треугольной.

У дважды противоположно наращённого усечённого додекаэдра 70 вершин. В 40 вершинах сходятся две десятиугольных грани и одна треугольная; в 20 вершинах сходятся десятиугольная, квадратная и две треугольных грани; в 10 вершинах сходятся пятиугольная, две квадратных и треугольная грани.

Дважды противоположно наращённый усечённый додекаэдр можно получить из трёх многогранников — усечённого додекаэдра и двух пятискатных куполов (J₅), — приложив куполы к двум противоположным десятиугольным граням усечённого додекаэдра.

Метрические характеристики

Если дважды противоположно наращённый усечённый додекаэдр имеет ребро длины [math]\displaystyle{ a }[/math], его площадь поверхности и объём выражаются как

[math]\displaystyle{ S = \frac{1}{2}\left(20+15\sqrt3+\left(50+\sqrt5\right)\sqrt{5+2\sqrt5}\right)a^2 \approx 103{,}3734243a^2, }[/math]

[math]\displaystyle{ V = \frac{1}{12}\left(515+251\sqrt5\right)a^3 \approx 89{,}6877552a^3. }[/math]

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Дважды противоположно наращённый усечённый додекаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.