Гекзакисикосаэдр

Гекзакисикосаэдр
(вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип	каталаново тело
Свойства	выпуклый, изоэдральный
Комбинаторика
Элементы	120 граней 180 рёбер 62 вершины Χ = 2
Грани	разносторонние треугольники:
Конфигурация вершины	30(34) 20(36) 12(310)
Конфигурация грани	V4.6.10
Двойственный многогранник	ромбоусечённый икосододекаэдр
Развёрткаразвернуть
Классификация
Обозначения	mD, dbD
Группа симметрии	Ih (икосаэдрическая)

Гекзакисикоса́эдр (от др.-греч. ἑξάκις — «шестижды», εἴκοσι — «двадцать» и ἕδρα — «грань»), также называемый дисдакистриаконта́эдром (от др.-греч. δίς — «дважды», δυάκις — «два раза», τριάκοντα — «тридцать» и ἕδρα — «грань»), — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный ромбоусечённому икосододекаэдру.

Составлен из 120 одинаковых разносторонних остроугольных треугольников с углами [math]\displaystyle{ \arccos \, \frac{9+5\sqrt5}{24} \approx 32{,}77^\circ, }[/math] [math]\displaystyle{ \arccos \, \frac{15-2\sqrt5}{20} \approx 58{,}24^\circ }[/math] и [math]\displaystyle{ \arccos \, \frac{5-2\sqrt5}{30} \approx 88{,}99^\circ. }[/math]

Имеет 62 вершины; в 12 вершинах (расположенных так же, как вершины икосаэдра) сходятся своими наименьшими углами по 10 граней, в 20 вершинах (расположенных так же, как вершины додекаэдра) сходятся своими средними по величине углами по 6 граней, в 30 вершинах (расположенных так же, как вершины икосододекаэдра) сходятся своими наибольшими углами по 4 грани.

У гекзакисикосаэдра 180 рёбер — 60 «длинных» (расположенных так же, как рёбра ромботриаконтаэдра), 60 «средних» и 60 «коротких». Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен [math]\displaystyle{ \arccos \left(-\frac{179+24\sqrt5}{241}\right) \approx 164{,}89^\circ. }[/math]

Гекзакисикосаэдр можно получить из ромботриаконтаэдра, приложив к каждой грани того неправильную четырёхугольную пирамиду с ромбическим основанием, равным грани ромботриаконтаэдра, и высотой, которая в [math]\displaystyle{ 2\sqrt{17+\frac{31\sqrt5}{5}} \approx 11{,}11 }[/math] раз меньше стороны основания.

Гекзакисикосаэдр — одно из трёх каталановых тел, в которых существует эйлеров путь.

Метрические характеристики

Если «короткие» рёбра гекзакисикосаэдра имеют длину [math]\displaystyle{ a }[/math], то его «средние» рёбра имеют длину [math]\displaystyle{ \frac{3}{10}(3+\sqrt5)a \approx 1{,}57a, }[/math] а «длинные» рёбра — длину [math]\displaystyle{ \frac{1}{5}(7+\sqrt5)a \approx 1{,}85a. }[/math]

Площадь поверхности и объём многогранника при этом выражаются как

[math]\displaystyle{ S = \frac{3}{5}\sqrt{10\left(1257+541\sqrt5\right)}\;a^2 \approx 94{,}2346327a^2, }[/math]

[math]\displaystyle{ V = \frac{1}{5}\sqrt{6\left(14765+6602\sqrt5\right)}\;a^3 \approx 84{,}1819754a^3. }[/math]

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

[math]\displaystyle{ r = \sqrt{\frac{3}{4820}\left(5795+2569\sqrt5\right)}\;a \approx 2{,}6799693a, }[/math]

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

[math]\displaystyle{ \rho = \frac{1}{20}\left(25+13\sqrt5\right)a \approx 2{,}7034442a. }[/math]

Описать около гекзакисикосаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Гекзакисикосаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.