Курносый куб

Курносый куб
«Правый» вариант (вращающаяся модель, 3D-модель)
«Левый» вариант (вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип	архимедово тело
Свойства	выпуклый, изогональный, хиральный
Комбинаторика
Элементы	38 граней 60 рёбер 24 вершины Χ = 2
Грани	32 треугольника, 6 квадратов
Конфигурация вершины	34.4
Двойственный многогранник	пентагональный икоситетраэдр
Развёртка Развёртка для «левого» варианта
Классификация
Обозначения	sC
Символ Шлефли	sr{4,3}
Группа симметрии	O (хиральная октаэдрическая)

Курно́сый куб, или плосконо́сый куб, — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 38 гранями, составленный из 6 квадратов и 32 правильных треугольников. В каждой из его 24 одинаковых вершин сходятся одна квадратная грань и четыре треугольных. Треугольные грани делятся на две группы: 8 из них окружены только другими треугольными, остальные 24 — квадратной и двумя треугольными.

Имеет 60 рёбер равной длины.

Название «курносый куб» (лат. cubus simus) дал этому многограннику Иоганн Кеплер в трактате 1619 года «Гармония мира». Гарольд Коксетер, отметив, что многогранник родствен октаэдру в той же мере, что и кубу, предлагал называть его «курносым кубооктаэдром».

В отличие от большинства других архимедовых тел, курносый куб (наряду с курносым додекаэдром) является хиральным и существует в двух разных зеркально-симметричных (энантиоморфных) вариантах — «правом» и «левом».

Преобразование ромбокубооктаэдра в «левый» и «правый» курносые кубы.

Метрические характеристики и углы

При определении метрических свойств курносого куба приходится решать кубические уравнения и пользоваться кубическими корнями — тогда как для ахиральных архимедовых тел и для платоновых тел не требуется ничего сложнее квадратных уравнений и квадратных корней. Поэтому курносый куб, в отличие от платоновых и ахиральных архимедовых тел, не допускает евклидова построения. То же верно и для курносого додекаэдра, а также для двойственных им каталановых тел.

При описании метрических свойств и углов курносого куба важную роль играет константа трибоначчи:

[math]\displaystyle{ t = \frac{1}{3}\left(1+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}\right) \approx 1{,}8392868. }[/math].

Если курносый куб имеет ребро длины [math]\displaystyle{ a }[/math], его площадь поверхности и объём выражаются как

[math]\displaystyle{ S = \left(6+8\sqrt{3}\right)a^2 \approx 19{,}8564065a^2, }[/math]

[math]\displaystyle{ V = \sqrt{\frac{613t+203}{9(35t-62)}}\;a^3 \approx 7{,}8894774a^3. }[/math]

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

[math]\displaystyle{ R = \sqrt{\frac{3-t}{4(2-t)}}\;a \approx 1{,}3437134a; }[/math]

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

[math]\displaystyle{ \rho = \sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4(2-t)}}\;a \approx 1{,}2472232a. }[/math]

Вписать в курносый куб сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри курносого куба с ребром [math]\displaystyle{ a }[/math] (она будет касаться только всех квадратных граней в их центрах), равен

[math]\displaystyle{ r_4 = \sqrt{R^2-\frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{t-1}{4(2-t)}}\;a \approx 1{,}1426135a. }[/math]

Расстояние от центра многогранника до любой треугольной грани превосходит [math]\displaystyle{ r_4 }[/math] и равно

[math]\displaystyle{ r_3 = \sqrt{R^2-\frac{a^2}{3}} = \sqrt{\frac{t+1}{12(2-t)}}\;a \approx 1{,}2133558a. }[/math]

Двугранные углы между двумя смежными треугольными гранями курносого куба равны [math]\displaystyle{ \alpha_{33} = \arccos \, \frac{1-2t}{3} \approx 153{,}23^\circ, }[/math] между смежными квадратной и треугольной гранями [math]\displaystyle{ \alpha_{43} = \arccos\left(-\sqrt{1-\frac{2}{3t}}\right) \approx 142{,}98^\circ. }[/math]

Телесный угол при вершине равен [math]\displaystyle{ 3\alpha_{33}+2\alpha_{43}-3\pi \approx 1{,}14\pi. }[/math]

В координатах

«Левый» курносый куб можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы координаты 12 его вершин были всевозможными чётными перестановками тех троек чисел [math]\displaystyle{ (\pm t;\pm1;\pm t^{-1}), }[/math] среди которых чётное число отрицательных, а координаты остальных 12 вершин — всевозможными нечётными перестановками тех троек, среди которых нечётное число отрицательных.

Если поступить наоборот — взять чётные перестановки троек с нечётным числом минусов и нечётные перестановки троек с чётным числом минусов — получим «правый» вариант курносого куба.

Начало координат [math]\displaystyle{ (0;0;0) }[/math] в обоих случаях будет центром описанной и полувписанной сфер многогранника.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Курносый куб (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

• М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
• Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382—447.
• Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.