Шестисотячейник
| Шестисотячейник | |
|---|---|
 Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) шестисотячейника в трёхмерное пространство | |
| Тип | Правильный четырёхмерный политоп |
| Символ Шлефли | {3,3,5} |
| Ячеек | 600 |
| Граней | 1200 |
| Рёбер | 720 |
| Вершин | 120 |
| Вершинная фигура | Икосаэдр |
| Двойственный политоп | Стодвадцатиячейник |
Пра́вильный шестисотяче́йник, или просто шестисотяче́йник[1], или гекзакосихор (от др.-греч. ἑξἀκόσιοι — «шестьсот» и χώρος — «место, пространство»), — один из шести правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве. Двойственен стодвадцатиячейнику.
Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов[2]. Символ Шлефли шестисотячейника — {3,3,5}.
Описание
Ограничен 600 трёхмерными ячейками — одинаковыми правильными тетраэдрами. Угол между двумя смежными ячейками равен [math]\displaystyle{ \arccos\left(-\frac{1+3\sqrt5}{8}\right) \approx 164{,}48^\circ. }[/math]
Его 1200 двумерных граней — одинаковые правильные треугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.
Имеет 720 рёбер равной длины. На каждом ребре сходятся по 5 граней и по 5 ячеек.
Имеет 120 вершин. В каждой вершине сходятся по 12 рёбер, по 30 граней и по 20 ячеек.
В координатах
Шестисотячейник можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы:
- 8 из его вершин имели координаты [math]\displaystyle{ (\pm2;0;0;0), }[/math] [math]\displaystyle{ (0;\pm2;0;0), }[/math] [math]\displaystyle{ (0;0;\pm2;0), }[/math] [math]\displaystyle{ (0;0;0;\pm2) }[/math] (эти вершины расположены так же, как вершины шестнадцатиячейника);
- ещё 16 вершин — координаты [math]\displaystyle{ (\pm1;\pm1;\pm1;\pm1) }[/math] (они расположены так же, как вершины тессеракта; кроме того, вместе с 8 предыдущими они дают вершины двадцатичетырёхячейника);
- координаты остальных 96 вершин были всевозможными чётными перестановками чисел [math]\displaystyle{ (\pm\Phi;\pm1;\pm\Phi^{-1};0), }[/math] где [math]\displaystyle{ \Phi = \frac{1+\sqrt5}{2} }[/math] — отношение золотого сечения (эти вершины расположены так же, как вершины курносого двадцатичетырёхъячейника).
Начало координат [math]\displaystyle{ (0;0;0;0) }[/math] будет центром симметрии многоячейника, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер.
Ортогональные проекции на плоскость
Метрические характеристики
Если шестисотячейник имеет ребро длины [math]\displaystyle{ a, }[/math] то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как
- [math]\displaystyle{ V_4 = \frac{25}{4}\left(2+\sqrt5\right)a^4 \approx 26{,}4754249a^4, }[/math]
- [math]\displaystyle{ S_3 = 50\sqrt2 a^3 \approx 70{,}7106781a^3. }[/math]
Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен
- [math]\displaystyle{ R = \Phi a = \frac{1}{2}\left(1+\sqrt5\right)a \approx 1{,}6180340a, }[/math]
радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —
- [math]\displaystyle{ \rho_1 = \frac{1}{2}\sqrt{5+2\sqrt5}\;a \approx 1{,}5388418a, }[/math]
радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —
- [math]\displaystyle{ \rho_2 = \frac{1}{6}\left(\sqrt{15}+3\sqrt3\right)a \approx 1{,}5115226a, }[/math]
радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —
- [math]\displaystyle{ r = \frac{1}{4}\left(\sqrt{10}+2\sqrt2\right)a \approx 1{,}4976762a. }[/math]
Примечания
- ↑ Д. К. Бобылёв. Четырехмерное пространство // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
- ↑ George Olshevsky. Hexacosichoron // Glossary for Hyperspace.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Шестисотячейник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
