Замощение (геометрия)
Парке́т или замощение — разбиение плоскости на многоугольники или пространства на многогранники без пробелов и наслоений.
Кроме паркетов на евклидовой плоскости, в математике рассматриваются «паркеты» на сфере , гиперболической плоскости , в трёхмерном и многомерном пространстве.
Терминология
Замощения, мозаики, паркеты, разбиения
Паркеты иначе называются замощениями, мозаиками (англ. tessellation, tiling), разбиениями плоскости (англ. partition), паркетажами. Замощения трёхмерного пространства и пространств высших размерностей часто называют со́тами.
На странице 16 книги Грюнбаума и Шепарда[англ.] «Tilings and Patterns» (1987)[2] находится следующее примечание:
В математической литературе слова tessellation, paving, mosaic и parquetting используются как синонимы или со сходными значениями. Немецкие слова для мозаики — Pflasterung, Felderung, Teilung, Parkettierung и Zerlegung; французские слова — pavage, carrelage и dallage; русские слова — паркетаж, разбиение и замощение.
Оригинальный текст (англ.)
Паркеты с областями (плитками) произвольной формы иногда называют картами (см., напр., теорема о четырёх красках).
Покрытия и упаковки
Если объединение нескольких фигур содержит данную фигуру Ф, то говорят, что эти фигуры образуют покрытие фигуры Ф. При этом покрывающие фигуры могут перекрываться, но покрывают фигуру Ф без пробелов.
Упаковка — это размещение внутри данной фигуры нескольких фигур, не имеющих общих точек, кроме, быть может, граничных (т.е. без перекрытий).
Замощение — это разбиение фигуры на части. Замощение является одновременно покрытием и упаковкой[2][3].
Протоплитки
Протоплитки паркета (англ. prototiles, также прототипы[4]) — это плитки (формы), входящие в паркет. Каждая плитка паркета конгруэнтна одной из протоплиток[5].
Так, единственная протоплитка шестиугольного паркета — правильный шестиугольник; протоплиткой правильного сферического пятиугольного паркета является пентагон; множество протоплиток ромботришестиугольного паркета состоит из равностороннего треугольника, квадрата и гексагона.
Паркет называется k-эдрическим, если множество его протоплиток (протомножество) состоит из k плиток[2][4].
Плитки паркета также называют гранями, а стороны многоугольных плиток — рёбрами, по аналогии с терминологией для многогранников[6].
Конфигурации вершин и граней
Ромботришестиугольный паркет[англ.] состоит из плиток трёх типов: равносторонний треугольник, квадрат и гексагон. Эти плитки располагаются вокруг каждой из вершин в следующем порядке: треугольник, квадрат, шестиугольник, квадрат. Такой порядок называется конфигурацией вершины паркета и записывается в форме 3.4.6.4. В случае, если два и более числа в этой последовательности идут подряд, используется сокращённая запись: треугольный паркет может быть обозначен как 3.3.3.3.3.3 или как 36. При этом записи, отличающиеся лишь циклической перестановкой чисел или изменением порядка записи на противоположный (например, 3.3.4.3.4 и 4.3.3.4.3), обозначают одну и ту же конфигурацию вершины; в то же время запись 3.4.4.6 не эквивалентна записи 3.4.6.4[4][7][8][9][10].
В неоднородных паркетах могут встречаться вершины с разными конфигурациями.
Конфигурацией грани называется последовательность степеней вершин этой грани при обходе её в одном направлении. Конфигурация грани записывается последовательностью чисел в квадратных скобках[2] или с префиксом V.
Если все вершины некоторого паркета имеют одну и ту же конфигурацию с записью a1.a2....ak, то все грани двойственного ему паркета имеют одну и ту же конфигурацию с записью Va1.a2....ak. Например, конфигурации граней паркета, двойственного ромботришестиугольному паркету 3.4.6.4 (англ.), записываются как V3.4.6.4.
Виды паркетов
Во многих случаях принимается условие эквивалентности каждой из протоплиток паркета топологическому диску; иными словами, плитка не должна состоять из нескольких частей (квазиполимино[11]), содержать «отверстия», быть бесконечной полосой и т.п.[2][4].
Паркеты на плоскости
Правильные паркеты
Паркеты, составленные из одинаковых правильных многоугольников, называют правильными паркетами (англ. regular tilings). Существует три правильных замощения плоскости: треугольный паркет, квадратный паркет и шестиугольный паркет[9][12][13].
- Правильные паркеты
Правильные паркеты называют также платоновыми паркетами[14].
Полиформы, располагающиеся на правильных паркетах, называются соответственно полиамондами, полимино и полигексами.
Для обозначения паркета из правильных p-угольников, расположенных по q вокруг каждой вершины, применяется символ Шлефли {p, q}. Символы Шлефли трёх правильных мозаик — {3,6}, {4,4} и {6,3}[6].
Полуправильные паркеты
Паркеты, состоящие из правильных многоугольников двух или более типов, такие, что для любых двух вершин паркета существует преобразование симметрии (самосовмещение), переводящее одну из них в другую, называются полуправильными паркетами (англ. semiregular tilings) или архимедовыми паркетами[9][15][16][17].
Существует 8 полуправильных паркетов[7][10][12][16][17]. Один из восьми полуправильных паркетов (курносый тришестиугольный паркет) является хиральным, то есть не совпадает с собственным зеркальным отражением[4][7][16][17].
- Полуправильные паркеты (Архимедовы паркеты)
-
Курносый квадратный паркет
3.3.4.3.4 -
Тришестиугольный паркет
3.6.3.6
Существует два определения, приводящих к одному и тому же набору из 8 полуправильных паркетов на плоскости.
Первое, «локальное» определение, заключается в том, что вершинные конфигурации всех вершин должны совпадать. Иными словами, последовательности граней вокруг любых двух вершин паркета должны быть одинаковыми: одни и те же многоугольники должны идти в одном и том же (или в противоположном) порядке.
Второе, «глобальное» определение, требует, чтобы для любых двух вершин паркета существовало преобразование симметрии (самосовмещение паркета), переводящее одну из них в другую.
Грюнбаум и Шепард разделяют термины «архимедов паркет» (англ. Archimedean tiling) и «однородный паркет» (англ. uniform tiling): к первой группе относятся паркеты, соответствующие «локальному» определению, а ко второй — «глобальному». Хотя на евклидовой плоскости два этих множества совпадают, в других пространствах существуют архимедовы паркеты, не являющиеся однородными[2].
В математической литературе значения терминов «архимедов паркет», «полуправильный паркет» и «однородный паркет» варьируются.
Квазиправильные паркеты
Квазиправильный паркет (или многогранник) (англ. quasiregular tiling) — однородный паркет (или многогранник), состоящий из граней двух видов, чередующихся вокруг каждой вершины; иными словами, каждая грань окружена гранями другого типа[18][19][20].
На евклидовой плоскости существует лишь один квазиправильный паркет — тришестиугольный паркет с вершинной конфигурацией 3.6.3.6. На сфере существует два квазиправильных паркета (сферических многогранника) — кубооктаэдр и икосододекаэдр.
На плоскости Лобачевского существует бесконечное множество квазиправильных паркетов вида [math]\displaystyle{ p.q.p.q, }[/math] где [math]\displaystyle{ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}\lt \frac{1}{2}. }[/math]
Неоднородные паркеты
Существует бесконечное множество неоднородных (англ. non-uniform) паркетов, состоящих из правильных многоугольников.
- Неоднородные паркеты из правильных многоугольников
-
32.62, 36
-
32.62, 3.6.3.6
-
32.4.12, 36
-
3.42.6, 3.6.3.6
Периодические неоднородные паркеты можно классифицировать по числу орбит вершин, рёбер и граней. Если число орбит вершин равно n, паркет называется n-однородным (англ. n-uniform) или n-изогональным; если число орбит рёбер равно n — n-изотоксальным (англ. n-isotoxal). Вышеприведённые примеры представляют собой четыре из двадцати 2-однородных паркетов[2][9][21].
Непериодические паркеты и апериодические множества плиток
![](https://cdn.xn--h1ajim.xn--p1ai/thumb.php?f=Socolar-Taylor_2D_monotile_with_decoration.png&width=180)
Разбиение T называется периодическим, если среди симметрий T существуют два параллельных переноса в непараллельных направлениях. В этом случае мозаику можно считать состоящей из повторений небольшого фрагмента, выложенного из элементов в узлах некоторой решётки. Множество прототипов (протомножество) P называется апериодическим, если оно реализуется в каких-то разбиениях плоскости, но ни одно из этих разбиений не является периодическим[4].
Первый пример апериодического множества плиток был найден Робертом Берджером[англ.] в 1966 году и включал в себя 20 426 плиток Вана[2][24]. Плитки Вана представляют собой квадраты одного размера с окрашенными сторонами; при построении мозаики разрешено совмещать плитки лишь одноцветными сторонами и запрещено переворачивать плитки.
Позднее были найдены апериодические протомножества с ме́ньшим числом плиток. Роджер Пенроуз обнаружил апериодические протомножества, состоящие из двух плиток[2][23][25].
В 2010 году Джошуа Соколар и Джон Тэйлор предложили апериодическое множество, состоящее из единственной плитки[англ.], которая представляет собой правильный шестиугольник с нанесённой разметкой в виде цветных линий и с дополнительными ограничениями, связанными с взаимным расположением не касающихся друг друга плиток[26]. Существует модификация, не использующая подобных ограничений, но использующая несвязную плитку, т.е., плитку, не являющуюся топологическим диском. Существование единственной связной плитки без дополнительной разметки и ограничений, способной покрыть плоскость только апериодически, остаётся открытой проблемой[26][27].
![](https://cdn.xn--h1ajim.xn--p1ai/thumb.php?f=Trapezo-rhombic_dodecahedron_honeycomb.png&width=300)
Паркеты в пространстве
![](https://cdn.xn--h1ajim.xn--p1ai/thumb.php?f=Truncated_octahedra.png&width=300)
Задача замощения может ставиться и решаться не только на плоскости, но и в трёхмерном пространстве и пространствах высших размерностей. В частности, примером замощения в трёхмерном пространстве являются кристаллы (если рассматривать их кристаллическую решётку не как центры атомов, а как тела, построенные вокруг этих центров и соприкасающиеся без зазоров и наложений - пространственные соты).
Сферические многогранники
Сферический паркет или сферический многогранник — разбиение сферы на сферические многоугольники дугами больших кругов[28].
Каждому из 5 платоновых тел соответствует правильный сферический паркет. Формально, пусть S — сфера с центром O, совпадающим с центром многогранника P. Проведённые из O лучи, проходящие через вершины многогранника P, пересекают сферу S в точках, являющихся вершинами соответствующего сферического паркета; рёбра многогранника P соответствуют дугам больших кругов на S.
Помимо сферических аналогов пяти «платоновых тел», существует два семейства правильных сферических многогранников, не имеющих эквивалентов среди многогранников с плоскими гранями: осоэдры — многогранники с двумя вершинами, находящимися на полюсах сферы, грани которых являются конгруэнтными двуугольниками, и диэдры — двойственные осоэдрам двугранники, вершины которых находятся на экваторе сферы.
Гиперболические паркеты
Аксиома параллельности Евклида (точнее, одно из эквивалентных ей утверждений) гласит:
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её.
В геометрии Лобачевского, вместо неё принимается следующая аксиома:
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.
Для изображения гиперболической плоскости применяется одна из существующих моделей — модель Бельтрами — Клейна, конформный диск Пуанкаре, модель Пуанкаре на полуплоскости[29].
На евклидовой плоскости существует лишь три правильных паркета и 8 полуправильных. На гиперболической плоскости существует бесконечное множество даже правильных паркетов, включая паркеты с семью и более равносторонними треугольниками вокруг вершины, пятью и более квадратами, четырьмя и более правильными пятиугольниками (паркет с тремя пятиугольниками вокруг вершины является сферическим додекаэдром), четырьмя и более правильными шестиугольниками и тремя и более равными правильными многоугольниками с количеством сторон более 6.
Задачи на паркетах
![](https://cdn.xn--h1ajim.xn--p1ai/images/1/1e/Hexomino-pentomino-rook.png)
Большое количество задач и головоломок связано с разбиением прямоугольников (или других связных фигур) на плитки из определённого заданного множества протоплиток. Сами протоплитки при этом могут представлять собой связные объединения ячеек правильного паркета.
В частности, существует класс задач на замощение прямоугольников m × n плитками домино таким образом, чтобы в полученном разбиении не было прямой линии, пересекающей прямоугольник от края до края и не пересекающей ни одной плитки домино; такие прямоугольники называются «прочными»[4][11][30].
В других задачах устанавливается дополнительное ограничение на количество плиток каждого вида, используемых в замощении. В задачах, связанных с пентамино, требуется покрыть 12 фигурами заданное подмножество квадратного паркета, состоящее из 60 клеток (прямоугольники 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12, 6 × 10, шахматная доска с вырезанным в центре квадратным тетрамино и др.); при этом каждая плитка должна быть использована ровно один раз[11][30].
Перечисление паркетов
Задача определения количества паркетов, состоящих из выпуклых многоугольников заданного типа, решена лишь частично:
- Любым треугольником или четырёхугольником можно замостить плоскость[4][31][32].
- Известно 15 пятиугольников, способных замостить плоскость; недавно французские учёные, открывшие 15 пятиугольник, доказали, что других таких нет.[1]. Проблема перечисления пятиугольных паркетов имеет богатую историю[4], и, возможно, уже решена[33][34].
- Известно 3 типа шестиугольников, способных замостить плоскость[4][35].
- Невозможно замостить плоскость одинаковыми выпуклыми многоугольниками с числом сторон, большим или равным семи[4][36].
См. также
- Диаграмма Вороного
- Триангуляция Делоне
- Мозаика Пенроуза
- Проблема четырёх красок
- Стереографическая проекция
- Замощение (компьютерная графика)
Примечания
- ↑ Перейти обратно: 1,0 1,1 Weisstein, Eric W. Pentagon Tiling (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Перейти обратно: 2,00 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09 B. Grünbaum, G.C. Shephard. Tilings and Patterns. — New York: W. H. Freeman & Co., 1987. — ISBN 0-7167-1193-1.
- ↑ Как решают нестандартные задачи / Под ред. В. О. Бугаенко. — М.: МЦНМО, 2008. — С. 49. — 96 с. — ISBN 978-5-94057-331-9.
- ↑ Перейти обратно: 4,00 4,01 4,02 4,03 4,04 4,05 4,06 4,07 4,08 4,09 4,10 Дэвид А. Кларнер. Математический цветник.
- ↑ Prototile . Encyclopedia of Mathematics. Дата обращения: 12 августа 2013. Архивировано 2 сентября 2013 года.
- ↑ Перейти обратно: 6,0 6,1 Кокстер, Введение в геометрию, 1966, §6, с. 100 — 104.
- ↑ Перейти обратно: 7,0 7,1 7,2 Henry Martyn Cundy, A. P. Rollett. Mathematical Models (англ.). — 2nd ed.. — Oxford University Press, 1961. — P. 59—65.
- ↑ Paul Bourke. Uniform Polyhedra . Дата обращения: 12 августа 2013. Архивировано 2 сентября 2013 года.
- ↑ Перейти обратно: 9,0 9,1 9,2 9,3 Chavey, D. Tilings by Regular Polygons—II: A Catalog of Tilings (неопр.) // Computers and Mathematics with Applications. — 1989. — Т. 17. — С. 147—165. — doi:10.1016/0898-1221(89)90156-9.
- ↑ Перейти обратно: 10,0 10,1 What Is a Tessellation? . Math Forum. Дата обращения: 12 августа 2013. Архивировано 2 сентября 2013 года.
- ↑ Перейти обратно: 11,0 11,1 11,2 Голомб С.В. Полимино = Polyominoes / Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома. — М.: Мир, 1975. — 207 с.
- ↑ Перейти обратно: 12,0 12,1 Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика / Глав. ред. М. Д. Аксёнова; метод. и отв. ред. В. А. Володин. — М.: Аванта+, 2003. — С. 297—300. — 688 с. — ISBN 5-94623-072-7.
- ↑ Weisstein, Eric W. Regular Tessellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Steven Gillispie. The Platonic planar tilings . Архивировано 26 октября 2008 года.
- ↑ Weisstein, Eric W. Semiregular Tessellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Перейти обратно: 16,0 16,1 16,2 Steven Dutch. Archimedean Tilings (2 июля 1999). Архивировано 20 января 2013 года.
- ↑ Перейти обратно: 17,0 17,1 17,2 John Baez. Archimedean Tilings and Egyptian Fractions . Azimuth (5 февраля 2012). Дата обращения: 12 августа 2013. Архивировано 2 сентября 2013 года.
- ↑ М. Веннинджер. Модели многогранников = Polyhedron Models / Перевод с английского В. В. Фирсова, под редакцией и с послесловием И. М. Яглома. — М.: Мир, 1974. — 236 с.
- ↑ George Hart. Quasiregular Polyhedra . Virtual Polyhedra: The Encyclopedia of Polyhedra. Дата обращения: 19 августа 2013. Архивировано 2 сентября 2013 года.
- ↑ H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes (англ.). — 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
- ↑ Steven Dutch. Uniform Tilings (2 июля 1999). Архивировано 20 января 2013 года.
- ↑ Penrose R. (1979/80), Pentaplexity, Math. Intell. Т. 2: 32–37, <http://www.ma.utexas.edu/users/radin/pentaplexity.html> Архивная копия от 7 июня 2011 на Wayback Machine(archived at)
- ↑ Перейти обратно: 23,0 23,1 David Austin. Penrose Tiles Talk Across Miles . Feature Column from the AMS. Дата обращения: 18 августа 2013. Архивировано 2 сентября 2013 года.
- ↑ Burger, R. The Undecidability of the Domino Problem (англ.) // Memoirs of the American Mathematical Society. — 1966. — Vol. 66. — P. 1—72.
- ↑ R. Penrose (недоступная ссылка). Tilings Encyclopedia. Дата обращения: 13 августа 2013. Архивировано 2 сентября 2013 года.
- ↑ Перейти обратно: 26,0 26,1 Socolar J. An Aperiodic Hexagonal Tile (неопр.). — arXiv:1003.4279. . —
- ↑ Socolar and Taylor’s aperiodic tile . Maxwell's Demon. Дата обращения: 18 августа 2013. Архивировано 2 сентября 2013 года.
- ↑ Weisstein, Eric W. Spherical Polyhedron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Кокстер, Введение в геометрию, 1966, гл. 16, с. 415 — 440.
- ↑ Перейти обратно: 30,0 30,1 Мартин Гарднер. Математические головоломки и развлечения = Mathematical Puzzles and Diversions / Пер. Ю. А. Данилова, под ред. Я. А. Смородинского. — 2-е. — М.: Мир, 1999. — ISBN 5-03-003340-8.
- ↑ Weisstein, Eric W. Triangle Tiling (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Weisstein, Eric W. Quadrilateral Tiling (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Michaël Rao. Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane Архивная копия от 2 августа 2017 на Wayback Machine
- ↑ Математик нашел все паркетные многоугольники
- ↑ Weisstein, Eric W. HexagonTiling (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Weisstein, Eric W. Tiling (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Литература
- А. Н. Колмогоров. Паркеты из правильных многоугольников // Квант. — 1970. — № 3.
- Ю. А. Шашкин. Паркеты // МИФ. — 1998—99. — № 3.
- О. Михайлов. Одиннадцать правильных паркетов // Квант. — 1979. — № 2. Архивировано 22 мая 2013 года.
- Дэвид А. Кларнер. Математический цветник. Сборник статей и задач = The Mathematical Gardner / Пер. с англ. Ю. А. Данилова; под ред., с предисл. и прилож. И. М. Яглома. — М.: Мир, 1983. — С. 153—328. — 494 с.
- Г. С. М. Кокстер. Введение в геометрию = Introduction to geometry / Пер. с англ. А. Б. Катка и С. Б. Каток; под ред. Б. А. Розенфельда и И. М. Яглома. — М.: Наука, 1966. — 648 с.
- Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. Tilings and Patterns (неопр.). — W. H. Freeman and Company[англ.], 1987. — ISBN 0-7167-1193-1.
Ссылки
- Хайдар Нурлигареев. Замощения . Элементы. Архивировано 16 августа 2013 года.
- Геометрические паркеты . Растрёпанный Блокнот. Архивировано 4 ноября 2011 года.
- Влад Алексеев. Математическое искусство М.К. Эшера . Невозможный мир. Архивировано 8 августа 2013 года.
- Wolfram Alpha учащимся Замощения
- Jaap Scherphuis. Tilings . Jaap's Puzzle Page. Дата обращения: 15 августа 2013. Архивировано 2 сентября 2013 года.
- Don Hatch. Hyperbolic Planar Tessellations . — Изображения усечённых гиперболических паркетов. Дата обращения: 20 августа 2013. Архивировано 2 сентября 2013 года.
- David E. Joyce. Hyperbolic Tessellations . — Java-апплет для отрисовки правильных и квазиправильных паркетов на гиперболической плоскости. Дата обращения: 23 августа 2013. Архивировано 2 сентября 2013 года.
- Vladimir Bulatov. Tilings of the hyperbolic space and their visualization . Joint MAA/AMS meeting, New Orleans (7 января 2011). Дата обращения: 20 августа 2013. Архивировано 2 сентября 2013 года.
- Demonolog. Гибридное замощение Применение векторной графики для изображения непериодических замощений.