Тридцатиугольник

Правильный тридцатиугольник

Углы	30
Символ Шлефли	{30}, t{15}

Тридцатиугольник, триаконтагон ― многоугольник с 30 углами и 30 сторонами. Как правило, тридцатиугольником называют правильный многоугольник, то есть такой, у которого все стороны и все углы равны (в случае тридцатиугольника углы равны 168°).

Правильный тридцатиугольник

Площадь

Площадь правильного тридцатиугольника со стороной a находится по формуле:

[math]\displaystyle{ S = 15a^2 \cdot \cot(6^\circ) \approx 71,3577334 \,a^2 }[/math]

Или, при радиусе описанной окружности R:

[math]\displaystyle{ S = 15R^2 \cdot \sin(12^\circ) \approx 3,118675 \,R^2 }[/math]

Или, при радиусе вписанной окружности r:

[math]\displaystyle{ S = 30r^2 \cdot \tan(6^\circ) \approx 3,153127 \,r^2 }[/math]

Центральный угол правильного тридцатиугольника равен 12°.

Построение

Поскольку 30 = 2×3×5, а 3 и 5 — два простых числа Ферма, правильный тридцатиугольник можно построить с помощью линейки и циркуля.^[1]

Другие формулы

[math]\displaystyle{ S = \frac{15}{2} a^2 \left(\sqrt{23 + 10 \sqrt{5} + 2 \sqrt{3(85 + 38 \sqrt{5})}}\right) = \frac{15}{4} a^2 \left(\sqrt{15} + 3\sqrt{3} + \sqrt{2}\sqrt{25+11\sqrt{5}}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ r = \frac{1}{2} a \cot \frac{\pi}{30} = \frac{1}{4} a \left(\sqrt{15} + 3\sqrt{3} + \sqrt{2}\sqrt{25+11\sqrt{5}}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ R = \frac{1}{2} a \csc \frac{\pi}{30} = \frac{1}{2} a \left(2 + \sqrt{5} + \sqrt{15+6\sqrt{5}}\right) }[/math]

Разбиение

Гарольдом Коксетером было доказано, что правильный [math]\displaystyle{ 2m }[/math]-угольник (в общем случае - [math]\displaystyle{ 2m }[/math]-угольный зоногон) можно разбить на [math]\displaystyle{ \frac{m(m-1)}{2} }[/math] ромбов. Для тридцатиугольника [math]\displaystyle{ m=15 }[/math], так что он может быть разбит на 105 ромбов.