Единичный куб
Единичный куб — куб, ребром которого является единичный отрезок, соответственно, гранью — единичный квадрат. В прямоугольной координатной системе обычно предполагается, чтобы одна вершина находилась в начале координат, все рёбра были параллельны координатным осям и весь куб находился в первом октанте, то есть, чтобы координаты вершин были:
- [math]\displaystyle{ (0; 0; 0), (1; 0; 0), (1; 1; 0), (1; 1; 1), (0; 1; 1), (0; 1; 0), (0; 0; 1), (1; 0; 1) }[/math].
Объём единичного куба — 1, площадь поверхности — 6, длина длиннейшей диагонали — [math]\displaystyle{ \sqrt 3 }[/math].
Единичный гиперкуб (единичный [math]\displaystyle{ n }[/math]-куб) — [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерное обобщение единичного куба, гиперкуб с рёбрами длины 1, и (при упоминании в контексте прямоугольной системы координат) лежащий [math]\displaystyle{ n }[/math] рёбрами на координатных осях, одной из вершин находящийся в начале координат и находящийся в первом ортанте. Гиперобъём [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного гиперкуба — 1, гиперплощадь поверхности — [math]\displaystyle{ 2 \cdot n }[/math], самая длинная диагональ имеет длину [math]\displaystyle{ \sqrt n }[/math].
Определить единичный [math]\displaystyle{ n }[/math]-куб можно как декартово произведение единичных отрезков:
- [math]\displaystyle{ [0, 1]^n = [0, 1] \times [0, 1] \times [0, 1] \times \dots \times [0, 1] }[/math].
Бесконечномерные обобщения единичного гиперкуба — гильбертов кирпич, определяемый как произведение счётного числа единичных отрезков, и ещё более общий тихоновский куб, являющийся произведением единичных отрезков, индексированных произвольным (возможно, несчётным) множеством.
Литература
- Р. Энгелькинг. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 130. — 752 с.