Параллелоэдр

Параллелоэдр ― выпуклый многогранник, параллельным перенесением которого можно замостить пространство, то есть покрыть евклидово пространство так, чтобы многогранники не входили друг в друга и не оставляли пустот между собой .

Примеры и свойства

• Параллелоэдрами являются, например, области Дирихле — Вороного решёток в евклидовом пространстве.
• На плоскости существует две разновидности параллелоэдров: параллелограммы и центрально-симметричные шестиугольники.
• В трёхмерном пространстве существует ровно пять топологических типов параллелоэдров: куб, шестиугольная призма, ромбододекаэдр, удлинённый додекаэдр (см. рисунок) и усечённый октаэдр.

• Все параллелоэдры (любой размерности) являются центрально-симметричными многогранниками. Все гиперграни параллелоэдра также центрально-симметричны.
• В двумерном и трёхмерном случаях все параллелоэдры являются зоноэдрами. Обратно, любой зоноэдр, имеющий один из описанных топологических типов, является параллелоэдром.
• Уже в четырёхмерном пространстве не все параллелоэдры являются зоноэдрами.

История

Начало теории параллелоэдров было положено в XIX веке трудами Федорова и Минковского. Замечательный вклад в неё внес Вороной, доказав, что всякий примитивный параллелоэдр аффинно эквивалентен DV-области некоторой решётки. В XX веке теорию параллелоэдров развивали Делоне, Б. А. Венков, Рышков, П. Макмаллен (P. Macmallen) и другие.

В последнее время изучение всех решетчатых параллелоэдров сведено к изучению так называемых коренных параллелоэдров, которые образуют в некотором роде базис параллелоэдров. Теорема о представлении любого решетчатого параллелоэдра в виде суммы Минковского конечного числа коренных параллелоэдров была сформулирована С. С. Рышковым. Подробное доказательство этой теоремы дано в совместной статье С. С. Рышкова и Е. А. Большаковой.

Литература

• А.Д. Александров. Выпуклые многогранники. — Москва, Ленинград: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950.