Ромбоикосододекаэдр

Ромбоикосододекаэдр
(вращающаяся модель, 3D-модель)
-
Тип	архимедово тело
Свойства	выпуклый, изогональный
Комбинаторика
Элементы	62 грани 120 рёбер 60 вершин Χ = 2
Грани	20 треугольников 30 квадратов 12 пятиугольников
Конфигурация вершины	3.4.5.4
Двойственный многогранник	дельтоидальный гексеконтаэдр
Развёртка
Классификация
Обозначения	eD, aaD
Символ Шлефли	rr{5,3}
Группа симметрии	Ih (икосаэдрическая)

Ромбоикосододека́эдр — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 62 гранями, составленный из 20 правильных треугольников, 30 квадратов и 12 правильных пятиугольников.

В каждой из его 60 одинаковых вершин сходятся одна пятиугольная грань, две квадратных и одна треугольная. Телесный угол при вершине равен [math]\displaystyle{ 2\pi - \arccos \frac{5-4\sqrt5}{15} \approx 1{,}42\pi. }[/math]

Ромбоикосододекаэдр имеет 120 рёбер равной длины. При 60 рёбрах (между треугольной и квадратной гранями) двугранные углы равны [math]\displaystyle{ \arccos\left(-\frac{\sqrt{15}+\sqrt3}{6}\right) \approx 159{,}09^\circ; }[/math] при 60 рёбрах (между квадратной и пятиугольной гранями) [math]\displaystyle{ \arccos\left(-\sqrt{\frac{5+\sqrt5}{10}}\right) \approx 148{,}28^\circ. }[/math]

Ромбоикосододекаэдр можно представить либо как додекаэдр, усечённый по вершинам и рёбрам (при этом треугольники соответствуют вершинам додекаэдра, а квадраты — рёбрам), либо как икосаэдр, усечённый таким же образом (при этом пятиугольники соответствуют вершинам икосаэдра, а квадраты — рёбрам), либо же как усечённый икосододекаэдр.

Фрагмент титульного листа «Геометрии» Августина Хиршфогеля (1543)

В координатах

Ромбоикосододекаэдр с длиной ребра [math]\displaystyle{ 2 }[/math] можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными циклическими перестановками наборов чисел

• [math]\displaystyle{ (\pm1;\;\pm1;\;\pm(2\Phi+1)), }[/math]
• [math]\displaystyle{ (\pm(\Phi+1);\;\pm\Phi;\;\pm2\Phi), }[/math]
• [math]\displaystyle{ (\pm(\Phi+2);\;0;\;\pm(\Phi+1)), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \Phi = \frac{1+\sqrt5}{2} }[/math] — отношение золотого сечения.

Начало координат [math]\displaystyle{ (0;\;0;\;0) }[/math] будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Метрические характеристики

Для удобства представления грани ромбоикосододекаэдра можно мысленно разделить на пять «поясов».

Пара каменных ромбоикосододекаэдров возле Капитолия штата Пенсильвания (установлены в 1928 году).

Если ромбоикосододекаэдр имеет ребро длины [math]\displaystyle{ a }[/math], его площадь поверхности и объём выражаются как

[math]\displaystyle{ S = \left(30+5\sqrt3+3\sqrt{25+10\sqrt5}\right)a^2 \approx 59{,}3059828a^2, }[/math]

[math]\displaystyle{ V = \frac{1}{3}\left(60+29\sqrt5\right)a^3 \approx 41{,}6153238a^3. }[/math]

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

[math]\displaystyle{ R = \frac{1}{2} \sqrt{11+4\sqrt5}\;a \approx 2{,}2329505a; }[/math]

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

[math]\displaystyle{ \rho = \frac{1}{2} \sqrt{10+4\sqrt5}\;a \approx 2{,}1762509a. }[/math]

Вписать в ромбоикосододекаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри ромбоикосододекаэдра с ребром [math]\displaystyle{ a }[/math] (она будет касаться только всех пятиугольных граней в их центрах), равен

[math]\displaystyle{ r_5 = \frac{3}{2} \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt5}}\;a \approx 2{,}0645729a. }[/math]

Расстояния от центра многогранника до квадратных и треугольных граней превосходят [math]\displaystyle{ r_5 }[/math] и равны соответственно

[math]\displaystyle{ r_4 = \frac{1}{2} \left(2+\sqrt5\right)a \approx 2{,}1180340a, }[/math]

[math]\displaystyle{ r_3 = \left(\frac{\sqrt3}{2}+\sqrt{\frac{5}{3}}\right)a \approx 2{,}1570199a. }[/math]

Литература

• М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
• Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382—447.
• Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Ромбоикосододекаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.