Пентакисдодекаэдр

Пентакисдодекаэдр
Пентакисдодекаэдр
	(вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип	каталаново тело
Свойства	выпуклый, изоэдральный
Комбинаторика
60 граней; 90 рёбер; 32 вершины	Χ = 2
Грани	равнобедренные треугольники: ;
Конфигурация вершины	12(35) ; 20(36)
Конфигурация грани	V5.6.6
Двойственный многогранник	усечённый икосаэдр
	Развёртка
Классификация
Обозначения	kD
Группа симметрии	Ih (икосаэдрическая)

Пентакисдодека́эдр (от др.-греч. πεντάχις — «пятижды», δώδεκα — «двенадцать» и ἕδρα — «грань») — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный усечённому икосаэдру. Составлен из 60 одинаковых остроугольных равнобедренных треугольников, в которых один из углов равен [math]\displaystyle{ \arccos \, \frac{9\sqrt5-7}{36} \approx 68{,}62^\circ, }[/math] а два других [math]\displaystyle{ \arccos \, \frac{9-\sqrt5}{12} \approx 55{,}69^\circ. }[/math]

Имеет 32 вершины; в 12 вершинах (расположенных так же, как вершины икосаэдра) сходятся своими бо́льшими углами по 5 граней, в 20 вершинах (расположенных так же, как вершины додекаэдра) сходятся меньшими углами по 6 граней.

У пентакисдодекаэдра 90 рёбер — 30 «длинных» (расположенных так же, как рёбра додекаэдра) и 60 «коротких». Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен [math]\displaystyle{ \arccos \left(-\frac{80+9\sqrt5}{109}\right) \approx 156{,}72^\circ. }[/math]

Пентакисдодекаэдр можно получить из додекаэдра, приложив к каждой его грани правильную пятиугольную пирамиду с основанием, равным грани додекаэдра, и высотой, которая в [math]\displaystyle{ \sqrt{65-22\sqrt5} \approx 3{,}98 }[/math] раз меньше стороны основания. При этом полученный многогранник будет иметь по 5 граней вместо каждой из 12 граней исходного — с чем и связано его название.

Метрические характеристики

Если «короткие» рёбра пентакисдодекаэдра имеют длину [math]\displaystyle{ a }[/math], то его «длинные» рёбра имеют длину [math]\displaystyle{ \frac{1}{6}\left(9-\sqrt5\right)a \approx 1{,}13a, }[/math] а площадь поверхности и объём выражаются как

[math]\displaystyle{ S = \frac{5}{3}\sqrt{\frac{1}{2}\left(421+63\sqrt5\right)}\;a^2 \approx 27{,}9352496a^2, }[/math]

[math]\displaystyle{ V = \frac{5}{36}\left(41+25\sqrt5\right)a^3 \approx 13{,}4585694a^3. }[/math]

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

[math]\displaystyle{ r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{109}\left(477+194\sqrt5\right)}\;a \approx 1{,}4453319a, }[/math]

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

[math]\displaystyle{ \rho = \frac{11+3\sqrt5}{12}a \approx 1{,}4756837a. }[/math]

Описать около пентакисдодекаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Пентакисдодекаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.