Пентеракт

Пентеракт
Тип	Правильный пятимерный политоп
Символ Шлефли	{4,3,3,3}
4-мерных ячеек	10
Ячеек	40
Граней	80
Рёбер	80
Вершин	32
Вершинная фигура	5-ячейник
Двойственный политоп	5-ортоплекс

Пентеракт (англ. penteract) — пятимерный гиперкуб, аналог куба в пятимерном пространстве. Пентеракт имеет 32 вершины, 80 рёбер, 80 граней, 40 ячеек (кубов) и 10 4-мерных ячеек (тессерактов).

Слово «пентеракт» возникло путём комбинирования слов «тессеракт» и «пента» (от греч. πέντε — «пять»). Также может именоваться 5-гиперкуб, дека-5-топ или декатерон.

Связанные политопы

Двойственное пентеракту тело - 5-ортоплекс, пятимерный аналог октаэдра.

Если применить к пентеракту альтернацию (удаление чередующихся вершин), можно получить однородный пятимерный многогранник, называемый полупентеракт, который является представителем семейства полугиперкубов.

Пентеракт можно рассматривать как замощение 4-мерной гиперсферы тессерактами.

Геометрия

В прямоугольной системе координат пентеракт с длиной ребра равной 2 определяется как выпуклая оболочка точек (±1,±1,±1,±1,±1).

Пятимерный гиперобъём (мера) пентеракта со стороной длиной a рассчитывается по формуле:
[math]\displaystyle{ V_5=a^5 }[/math]

Четырёхмерный гиперобъём гиперповерхности пентеракта можно найти по другой формуле:
[math]\displaystyle{ V_4(hypersurface)=10a^4 }[/math]

Радиус описанной гиперсферы:
[math]\displaystyle{ R=\frac{a\sqrt5}{2} }[/math]

Радиус вписанной гиперсферы:
[math]\displaystyle{ r=\frac{a}{2} }[/math]

Визуализация

Пентеракт можно визуализировать либо параллельным, либо центральным проецированием. В первом случае обычно применяется косоугольная параллельная проекция, которая представляет собой 2 равных гиперкуба размерности n-1, один из которых может быть получен в результате параллельного переноса второго (для пентеракта это 2 тессеракта), вершины которых попарно соединены. Во втором случае обычно используют диаграмму Шлегеля, которая выглядит как гиперкуб размерности n-1, вложенный в гиперкуб той же размерности, у которых вершины также попарно соединены (для пентеракта проекция представляет собой тессеракт, вложенный в другой тессеракт).

Также применяются и другие способы проецирования.

Изображения

• 

  Каркас (ортогональная проекция)

• 

  Изображение позволяет увидеть множество связанных кубов (40 штук)

• Вращающийся пентеракт

Ссылки

• Вращение пентеракта — проекция в трёхмерном пространстве Архивная копия от 13 марта 2019 на Wayback Machine
• Коксестер, Правильные политопы, (третье издание, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8