Параллельный перенос
Паралле́льный перено́с иногда трансляция[1] (от лат. translatio — перенос,перемещение) ― частный случай движения, при котором все точки пространства перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.
Определение
Параллельный перенос ― перемещение всех точек пространства в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Если [math]\displaystyle{ M }[/math] ― первоначальное положение, а [math]\displaystyle{ M' }[/math] ― смещённое в результате переноса положение точки, то вектор [math]\displaystyle{ \overrightarrow{MM'} }[/math] ― один и тот же для всех пар точек, соответствующих друг другу в данном преобразовании.
Параллельный перенос на вектор [math]\displaystyle{ \vec a }[/math] обозначается как [math]\displaystyle{ T_{\vec a} }[/math] (от лат. translatio - перенос,перемещение)
![](https://cdn.xn--h1ajim.xn--p1ai/thumb.php?f=TraslazioneOK.png&width=300)
Координатное представление
На плоскости параллельный перенос выражается аналитически в прямоугольной системе координат [math]\displaystyle{ (x,\;y) }[/math] при помощи
- [math]\displaystyle{ (x,\;y)\mapsto(x+a,\;y+b), }[/math]
где вектор [math]\displaystyle{ \overrightarrow{MM'}=(a,\;b) }[/math].
Свойства
- Две различные точки и их образы, полученные параллельным переносом, являются вершинами параллелограмма, в котором отрезок, соединяющий две начальные точки, образует одну сторону, а отрезок, соединяющий два их образа — противоположную ей сторону.
- У параллельного переноса нет неподвижных точек (если только это не тождественное преобразование, либо если прямая или плоскость не параллельны вектору параллельного переноса (т.к. именно он определяет направление переноса[2])).
- Совокупность всех параллельных переносов образует группу, которая в евклидовом пространстве является нормальной подгруппой группы движений, а в аффинном ― нормальной подгруппой группы аффинных преобразований.
- Параллельный перенос сохраняет направления ( т.е. для любого вектора [math]\displaystyle{ \vec{a} }[/math] верно, что [math]\displaystyle{ f({\vec{a}}) = \vec{a} }[/math])
- Преобразование, обратное к параллельному переносу [math]\displaystyle{ T_{\vec a} }[/math] есть [math]\displaystyle{ T_{-\vec a} }[/math]
- Композиция параллельных переносов [math]\displaystyle{ T_{\vec a} }[/math] и [math]\displaystyle{ T_{\vec b} }[/math] есть [math]\displaystyle{ T_{\vec a + \vec b} }[/math]
- Параллельный перенос переводит прямую в себя или в параллельную ей прямую, а плоскость - в себя или в параллельную ей плоскость.
- Параллельный перенос [math]\displaystyle{ T_{\vec 0} }[/math] - это тождественное преобразование.
Вариации и обобщения
- Параллельное перенесение — обобщение понятия «параллельный перенос» на случай искривлённых пространств.
- Поступательное движение — движение в механике, разница положений при котором в любые 2 момента времени представляет собой параллельный перенос.
- Трансляция (кристаллография)
- Трансляционная симметрия
Примечания
- ↑ Паралле́льный перено́с и трансляция ― полные синонимы в математике и физике, вторая форма термина особенно часто употребляется для образования прилагательного, например трансляционная симметрия), также, традиционно, ей отдается почти исключительное предпочтение в некоторых областях, таких, как кристаллография.
- ↑ Калинин А.Ю., Терешин Д.А. Геометрия. 10-11 классы (профильный уровень). — МЦНМО, 2011. — С. 231-250. — ISBN 978-5-94057-581-8.
Для улучшения этой статьи по математике желательно: |