Действие группы
Действие группы на некотором множестве объектов позволяет изучать симметрии этих объектов с помощью аппарата теории групп.
Определения
Действие слева
Говорят, что группа [math]\displaystyle{ G }[/math] действует слева на множестве [math]\displaystyle{ M }[/math], если задан гомоморфизм [math]\displaystyle{ \Phi\colon G\to S(M) }[/math] из группы [math]\displaystyle{ G }[/math] в симметрическую группу [math]\displaystyle{ S(M) }[/math] множества [math]\displaystyle{ M }[/math]. Для краткости [math]\displaystyle{ (\Phi(g))(m) }[/math] часто записывают как [math]\displaystyle{ gm }[/math], [math]\displaystyle{ g\cdot m }[/math] или [math]\displaystyle{ g{.}m }[/math]. Элементы группы [math]\displaystyle{ G }[/math] называются в этом случае преобразованиями, а сама группа [math]\displaystyle{ G }[/math] — группой преобразований множества [math]\displaystyle{ M }[/math].
Другими словами, группа [math]\displaystyle{ G }[/math] действует слева на множестве [math]\displaystyle{ M }[/math], если задано отображение [math]\displaystyle{ G\times M\to M }[/math], обозначаемое [math]\displaystyle{ (g,m)= gm }[/math], такое, что
- [math]\displaystyle{ (gh)m=g(hm) }[/math] для всех [math]\displaystyle{ g,\;h\in G }[/math], [math]\displaystyle{ m\in M }[/math] и
- [math]\displaystyle{ em=m }[/math], где [math]\displaystyle{ e }[/math] — нейтральный элемент группы [math]\displaystyle{ G }[/math]. Можно сказать, что единица группы соотносит каждому элементу [math]\displaystyle{ M }[/math] его же; такое преобразование называется тождественным.
Действие справа
Аналогично, правое действие группы [math]\displaystyle{ G }[/math] на [math]\displaystyle{ M }[/math] задаётся гомоморфизмом [math]\displaystyle{ \rho: G^{op} \to S(M) }[/math], где [math]\displaystyle{ G^{op} }[/math] — инверсная группа группы [math]\displaystyle{ G }[/math]. При этом часто используют сокращенное обозначение: [math]\displaystyle{ \rho(g)(m) =: mg }[/math]. При этом аксиомы гомоморфизма записываются следующим образом:
- [math]\displaystyle{ m(gh) = (mg)h, }[/math]
- [math]\displaystyle{ me = m. }[/math]
Комментарии
- Любое правое действие группы [math]\displaystyle{ G }[/math] — это левое действие [math]\displaystyle{ G^{op} }[/math]. Также, так как каждая группа изоморфна своей инверсной группе (изоморфизмом является, например, отображение [math]\displaystyle{ g \mapsto g^{-1} }[/math]), то из каждого правого действия можно с помощью такого изоморфизма получить левое действие. Поэтому, как правило, исследуются только левые действия.
- Если множество [math]\displaystyle{ M }[/math] снабжено какой-то дополнительной структурой, то обычно предполагается, что отображение [math]\displaystyle{ m\mapsto gm }[/math] сохраняет эту структуру.
- Например, если [math]\displaystyle{ M }[/math] — топологическое пространство, то [math]\displaystyle{ m\mapsto gm }[/math] предполагается непрерывным (а значит, гомеоморфизмом). Такое действие группы более точно называется непрерывным действием.
Типы действий
- Свободное, если для любых различных [math]\displaystyle{ g,\;h\in G }[/math] и любого [math]\displaystyle{ m\in M }[/math] выполняется [math]\displaystyle{ gm\ne hm }[/math].
- Транзитивное, если для любых [math]\displaystyle{ m,\;n\in M }[/math] существует [math]\displaystyle{ g\in G }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ gm=n }[/math]. Другими словами, действие транзитивно, если [math]\displaystyle{ Gm=M }[/math] для любого элемента [math]\displaystyle{ m\in M }[/math].
- Примитивное действие транзитивно и не сохраняет нетривиальных подможеств [math]\displaystyle{ M }[/math].
- Эффективное, если для любых двух элементов [math]\displaystyle{ g\ne h }[/math] в [math]\displaystyle{ G }[/math] существует [math]\displaystyle{ m\in M }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ gm\ne hm }[/math].
- Вполне разрывное, если для любого компактного множества [math]\displaystyle{ K }[/math] множество всех [math]\displaystyle{ g \in G }[/math], для которых пересечение [math]\displaystyle{ K \cap gK }[/math] непусто, конечно.
На топологических пространствах и гладких многообразиях также особо рассматривают действия групп, наделённых соответствующими дополнительными структурами: топологических групп и групп Ли. Действие [math]\displaystyle{ \rho: G \to \mathrm{X} }[/math] топологической группы на топологическом пространстве называют непрерывным, если оно непрерывно как отображение между топологическими пространствами. Аналогично определяется гладкое действие группы Ли на гладком многообразии.
- Непрерывное действие группы на пространстве жёстко (или квазианалитично), если из того, что некоторый элемент группы действует как тождественное отображение на некотором открытом подмножестве пространства, следует, что это единичный элемент группы.
- Любое эффективное непрерывное действие изометриями на связном римановом многообразии обязательно жёстко, чего нельзя сказать об общих метрических пространствах. Например, действие циклической группы порядка 2 перестановкой двух рёбер на графе, образованном тремя рёбрами, выходящими из одной точки, является эффективным, но не жёстким.
- Непрерывное действие группы называется кокомпактным, если факторпространство по этому действию компактен.
Орбиты
Подмножество
- [math]\displaystyle{ Gm=\{gm\mid g\in G\}\subset M }[/math]
называется орбитой элемента [math]\displaystyle{ m\in M }[/math] (иногда обозначается как [math]\displaystyle{ \mathrm{Orb}(m) }[/math]).
Действие группы [math]\displaystyle{ G }[/math] на множестве [math]\displaystyle{ M }[/math] определяет на нём отношение эквивалентности
- [math]\displaystyle{ \forall n,\;m\in M\;(n\,\sim_{_G} \,m)\Longleftrightarrow(\exists g\in G\;:\;gn=m)\Longleftrightarrow(Gn=Gm). }[/math]
При этом классами эквивалентности являются орбиты элементов. Поэтому если общее число классов эквивалентности равно [math]\displaystyle{ k }[/math], то
- [math]\displaystyle{ M=Gm_1\sqcup Gm_2\sqcup\ldots\sqcup Gm_k, }[/math]
где [math]\displaystyle{ m_1,\;m_2,\;\ldots,\;m_k\in M }[/math] попарно неэквивалентны. Для транзитивного действия [math]\displaystyle{ k=1 }[/math].
Стабилизаторы
Подмножество
- [math]\displaystyle{ G_m=\{g\in G\mid gm=m\}\subset G }[/math]
является подгруппой группы [math]\displaystyle{ G }[/math] и называется стабилизатором, или стационарной подгруппой элемента [math]\displaystyle{ m\in M }[/math] (иногда обозначается как [math]\displaystyle{ \mathrm{Stab}(m) }[/math]).
Стабилизаторы элементов одной орбиты сопряжены, то есть если [math]\displaystyle{ n\,\sim_{_G}\,m }[/math], то найдется такой элемент [math]\displaystyle{ g\in G }[/math], что
- [math]\displaystyle{ G_m=gG_ng^{-1}. }[/math]
Количество элементов в орбите
- [math]\displaystyle{ |Gm|=[G:G_m] }[/math], [math]\displaystyle{ G_m }[/math] — стабилизатор элемента [math]\displaystyle{ m }[/math] и [math]\displaystyle{ [G:G_m] }[/math] — индекс подгруппы [math]\displaystyle{ G_m\subset G }[/math], в случае конечных групп равен [math]\displaystyle{ \frac{|G|}{|G_m|} }[/math].
- Размерность орбиты можно вычислить так:
- [math]\displaystyle{ \dim |Gm| = \dim |G| - \dim |G_m| }[/math], где
[math]\displaystyle{ \dim|Gm| }[/math] размерность отдельной орбиты,
- [math]\displaystyle{ \dim|G_m| }[/math] размерность стабилизатора, [math]\displaystyle{ \dim|G| }[/math] размерность группы Ли.
Если [math]\displaystyle{ M=Gm_1\sqcup Gm_2\sqcup\ldots\sqcup Gm_k }[/math], то
- [math]\displaystyle{ |M|=\sum_{t=1}^k[G:G_{m_t}] }[/math] — формула разложения на орбиты.
Эта формула также влечёт следующие тождества:
- [math]\displaystyle{ \forall m\in M\;\sum_{n\in Gm}|G_n|=|G|; }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sum_{m\in M}|G_m|=k|G|; }[/math]
- лемму Бёрнсайда.
Примеры действий
Действия на себе
Слева
Действие на себе слева является наиболее простым примером действия. В этом случае [math]\displaystyle{ M=G }[/math], и гомоморфизм [math]\displaystyle{ \Phi:G\to S(G) }[/math] задан как [math]\displaystyle{ (\Phi(g))(h)=gh }[/math].
Справа
Аналогично определяется действие на себе справа: [math]\displaystyle{ (\Phi(g))(h)=hg^{-1} }[/math].
Слева и справа
Эти два действия являются действиями подгрупп прямого произведения [math]\displaystyle{ G\times G }[/math] на [math]\displaystyle{ M=G }[/math] с гомоморфизмом [math]\displaystyle{ \Phi:G\times G\to S(G) }[/math], заданным как [math]\displaystyle{ (\Phi(g_1,\;g_2))(h)=g_1hg_2^{-1} }[/math].
Сопряжениями
Пусть [math]\displaystyle{ M=G }[/math], и гомоморфизм [math]\displaystyle{ \Phi:G\to S(G) }[/math] задан как [math]\displaystyle{ (\Phi(g))(h)=ghg^{-1} }[/math]. При этом для каждого элемента [math]\displaystyle{ h\in G }[/math] стабилизатор [math]\displaystyle{ G_h }[/math] совпадает с централизатором [math]\displaystyle{ C(h) }[/math]:
- [math]\displaystyle{ G_h=\{g\in G\mid ghg^{-1}=h\}=\{g\in G\mid gh=hg\}=C(h). }[/math]
Например, для элемента [math]\displaystyle{ h }[/math] из центра группы [math]\displaystyle{ G }[/math] (то есть [math]\displaystyle{ h\in Z(G) }[/math]) имеем [math]\displaystyle{ C(h)=G }[/math] и [math]\displaystyle{ G_h=G }[/math].
Вариации и обобщения
См. также
Литература
- Винберг, Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002. — ISBN 5-88688-0607..
- Кострикин, А. И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0489-6..