Задача одной плитки
Задача одной плитки (англ. einstein problem) — решённая геометрическая проблема поиска одной протоплитки[англ.], которая образует непериодическое множество плиток[англ.], то есть фигуры, копиями которой можно замостить пространство, но только непериодичным способом. В источниках на английском языке такие фигуры называют «einsteins» — игра слов, нем. ein stein означает «один камень», и так же записывается фамилия физика Альберта Эйнштейна.
Задачу одной плитки можно рассматривать как естественное продолжение второй части восемнадцатой проблемы Гильберта[англ.], в которой задаётся вопрос о многограннике, копиями которого можно заполнить трёхмерное евклидово пространство, причём никакое заполнение пространства копиями этого многогранника не должно быть изоэдральным[1]. Такие неизоэдральные тела[англ.] были найдены Карлом Райнхардом[англ.] в 1928 году, но эти тела заполняют пространство периодическим образом.
Предложенные решения
![](https://cdn.xn--h1ajim.xn--p1ai/thumb.php?f=Aperiodic_tiling_by_hats.png&width=300)
В 1988 году Петер Шмитт обнаружил непериодическую протоплитку для трёхмерного евклидова пространства. Хотя никакое заполнение этим телом не допускает параллельный перенос, некоторые заполнения имеют винтовую симметрию[англ.]. Операция винтовой симметрии имеет вид композиции параллельного переноса и вращения на угол, несоизмеримый с π, так что никакое число повторений этих операций не приведёт к простому параллельному переносу. Эта конструкция была позднее использована Джоном Конвеем и Людвигом Данцером для построения выпуклой непериодической плитки, плитки Шмитта — Конвея — Данцера. Наличие винтовой симметрии явилось следствием требования непериодичности[2]. Хаим Гудман-Штраусс предложил считать мозаики строго апериодичными, если для них не существует бесконечной циклической группы движений евклидова пространства[англ.], являющихся симметриями мозаики, и называть строго апериодичными только те наборы плиток, которые приводят к строго апериодичным мозаикам, остальные наборы плиток тогда называются слабо апериодичными[3].
В 1996 году Петра Гуммельт построила десятиугольную плитку с рисунком и показала, что при разрешении двух типов перекрытия пар плиток ими можно замостить плоскость, причём только апериодичным образом[4]. Обычно под мозаикой понимается заполнение без перекрытия, так что плитку Гуммельт нельзя считать апериодической протоплиткой. Апериодическое множество плиток на евклидовой плоскости, которое состоит только из одной плитки — плитки Соколара — Тейлор — было предложено в начале 2010-х годов Джошуа Соколаром и Джоан Тейлор[5]. Эта конструкция вовлекает правила соединения, правила, ограничивающие относительную ориентацию двух плиток, и правила соединения рисунков на плитках, и эти правила применяются к парам несмежных плиток. Можно использовать плитки без рисунков и без правил ориентации, но тогда плитки не будут связными. Построение можно распространить на трёхмерное пространство с использованием связных плиток и без правил соединения, но эти плитки могут быть выложены с периодичностью в одном направлении, так что это лишь слабо непериодическая мозаика. Более того, плитки не односвязны.
В 2023 году Д. Смит, Дж. С. Майерс, К. С. Каплан и Х. Гудман-Штраусс нашли семейство протоплиток, окончательно решающих задачу одной плитки, в том числе плитку простой 13-угольной формы[6]. Хотя работа ещё не прошла рецензирование, эксперты, которых опросил Science News[англ.], сообщили, что результат, вероятно, выдержит тщательную проверку[7].
Примечания
- ↑ Senechal, 1996, pp. 22–24.
- ↑ Radin, 1995, pp. 3543–3548.
- ↑ Goodman-Strauss, 2000.
- ↑ Gummelt, 1996, pp. 1–17.
- ↑ Socolar, Taylor, 2011, pp. 2207–2231.
- ↑ David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, and Chaim Goodman-Strauss. An aperiodic monotile (2023). Дата обращения: 21 марта 2023.
- ↑ Mathematicians have finally discovered an elusive ‘einstein’ tile (англ.) ? (24 марта 2023). Дата обращения: 29 марта 2023.
Ссылки
- Petra Gummelt. Penrose Tilings as Coverings of Congruent Decagons // Geometriae Dedicata. — 1996. — Vol. 62. — Вып. 1. — doi:10.1007/BF00239998.
- Marjorie Senechal. Quasicrystals and Geometry. — corrected paperback. — Cambridge University Press, 1996. — ISBN 0-521-57541-9.
- Charles Radin. Aperiodic tilings in higher dimensions // Proceedings of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1995. — Vol. 123. — Вып. 11. — doi:10.2307/2161105. — .
- Chaim Goodman-Strauss. Open Questions in Tiling. — 2000. Архивировано 18 апреля 2007 года. Архив:
- Joshua E. S. Socolar, Joan M. Taylor. An Aperiodic Hexagonal Tile // Journal of Combinatorial Theory, Series A. — 2011. — Vol. 118. — doi:10.1016/j.jcta.2011.05.001. — arXiv:1003.4279.
Для улучшения этой статьи желательно: |