Перейти к содержанию

Задача одной плитки

Эта статья находится в стадии проработки и развития, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Задача одной плитки (англ. einstein problem) — решённая геометрическая проблема поиска одной протоплитки[англ.], которая образует непериодическое множество плиток[англ.], то есть фигуры, копиями которой можно замостить пространство, но только непериодичным способом. В источниках на английском языке такие фигуры называют «einsteins» — игра слов, нем. ein stein означает «один камень», и так же записывается фамилия физика Альберта Эйнштейна.

Задачу одной плитки можно рассматривать как естественное продолжение второй части восемнадцатой проблемы Гильберта[англ.], в которой задаётся вопрос о многограннике, копиями которого можно заполнить трёхмерное евклидово пространство, причём никакое заполнение пространства копиями этого многогранника не должно быть изоэдральным[1]. Такие неизоэдральные тела[англ.] были найдены Карлом Райнхардом[англ.] в 1928 году, но эти тела заполняют пространство периодическим образом.

Предложенные решения

Плитка Соколара — Тейлор является предложенным решением задачи одной плитки.
Непериодическое замощение плоскости плиткой, найденной Смитом, Майерсом, Капланом и Гудман-Штрауссом. Цвета показывают многоуровневую структуру замощения, а тонкие линии показывают, как собрать плитку из фрагментов правильного шестиугольника.

В 1988 году Петер Шмитт обнаружил непериодическую протоплитку для трёхмерного евклидова пространства. Хотя никакое заполнение этим телом не допускает параллельный перенос, некоторые заполнения имеют винтовую симметрию[англ.]. Операция винтовой симметрии имеет вид композиции параллельного переноса и вращения на угол, несоизмеримый с π, так что никакое число повторений этих операций не приведёт к простому параллельному переносу. Эта конструкция была позднее использована Джоном Конвеем и Людвигом Данцером для построения выпуклой непериодической плитки, плитки Шмитта — Конвея — Данцера. Наличие винтовой симметрии явилось следствием требования непериодичности[2]. Хаим Гудман-Штраусс предложил считать мозаики строго апериодичными, если для них не существует бесконечной циклической группы движений евклидова пространства[англ.], являющихся симметриями мозаики, и называть строго апериодичными только те наборы плиток, которые приводят к строго апериодичным мозаикам, остальные наборы плиток тогда называются слабо апериодичными[3].

В 1996 году Петра Гуммельт построила десятиугольную плитку с рисунком и показала, что при разрешении двух типов перекрытия пар плиток ими можно замостить плоскость, причём только апериодичным образом[4]. Обычно под мозаикой понимается заполнение без перекрытия, так что плитку Гуммельт нельзя считать апериодической протоплиткой. Апериодическое множество плиток на евклидовой плоскости, которое состоит только из одной плитки — плитки Соколара — Тейлор — было предложено в начале 2010-х годов Джошуа Соколаром и Джоан Тейлор[5]. Эта конструкция вовлекает правила соединения, правила, ограничивающие относительную ориентацию двух плиток, и правила соединения рисунков на плитках, и эти правила применяются к парам несмежных плиток. Можно использовать плитки без рисунков и без правил ориентации, но тогда плитки не будут связными. Построение можно распространить на трёхмерное пространство с использованием связных плиток и без правил соединения, но эти плитки могут быть выложены с периодичностью в одном направлении, так что это лишь слабо непериодическая мозаика. Более того, плитки не односвязны.

В 2023 году Д. Смит, Дж. С. Майерс, К. С. Каплан и Х. Гудман-Штраусс нашли семейство протоплиток, окончательно решающих задачу одной плитки, в том числе плитку простой 13-угольной формы[6]. Хотя работа ещё не прошла рецензирование, эксперты, которых опросил Science News[англ.], сообщили, что результат, вероятно, выдержит тщательную проверку[7].

Примечания

  1. Senechal, 1996, pp. 22–24.
  2. Radin, 1995, pp. 3543–3548.
  3. Goodman-Strauss, 2000.
  4. Gummelt, 1996, pp. 1–17.
  5. Socolar, Taylor, 2011, pp. 2207–2231.
  6. David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, and Chaim Goodman-Strauss. An aperiodic monotile (2023). Дата обращения: 21 марта 2023.
  7. Mathematicians have finally discovered an elusive ‘einstein’ tile (англ.) ? (24 марта 2023). Дата обращения: 29 марта 2023.

Ссылки