Семиугольная мозаика

Семиугольная мозаика
Тип	Гиперболическая правильная мозаика
Вершинная фигура	73
Символ Шлефли	{7,3}
Символ Витхоффа	7 2
Диаграмма Коксетера
Группа симметрии	[7,3], (*732)
Двойственный многогранник	Треугольная мозаика порядка 7
Свойства	Вершинно транзитивна, рёберно транзитивна, транзитивна по граням

Семиугольная мозаика — правильная мозаика на гиперболической плоскости. Она представляется cимволом Шлефли {7,3} и имеет три правильных семиугольника в каждой вершине.

Иллюстрации

Модель полуплоскости Пуанкаре

Дисковая модель Пуанкаре

Модель Клейна

Связанные многогранники и мозаики

Эта мозаика имеет топологическую связь с правильными многогранниками как член последовательности правильных многогранников с cимволом Шлефли {n,3}. Шаблон:Таблица мозаик порядка 3

Из построения Витхоффа следует, что существует восемь гиперболических однородных мозаик, базирующихся на правильной семиугольной мозаике.

Если раскрасить в мозаике красным исходные грани, жёлтым исходные вершины, а синим исходные рёбра, имеется 8 форм. Шаблон:Таблица семиугольных мозаик

Поверхности Гурвица

Группа симметрии семиугольной мозаики имеет в качестве фундаментальной области (2,3,7) треугольник Шварца, который образует эту мозаику.

Дополнительные сведения: Поверхность Гурвица

Группа симметрии мозаики является группой треугольника (2,3,7), и фундаментальной областью для этого действия является треугольник Шварца (2,3,7). Это наименьший гиперболический треугольник Шварца, а потому, по теореме Гурвица об автоморфизмах, мозаика является универсальной мозаикой, покрывающей все поверхности Гурвица (римановы поверхности с максимальной группой симметрии), давая мозаику семиугольниками, группа симметрии которой равна группе симметрии римановой поверхности. Наименьшей поверхностью Гурвица является квартика Клейна (род 3, группа автоморфизма имеет порядок 168) и порождённая мозаика имеет 24 семиугольника, имеющие общие 56 вершин.

Двойственная треугольная мозаика порядка 7 имеет ту же самую группу симметрии и она задаёт триангуляции поверхности Гурвица.

См. также

• Шестиугольный паркет
• Мозаики из правильных многоугольников
• Список выпуклых однородных мозаик
• Список правильных многогранников и соединений

Литература

• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations // The Symmetries of Things. — 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.
• H.S.M. Coxeter. Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. — Dover Publications, 1999. — ISBN 978-0486-40919-8.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Hyperbolic tiling (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Poincaré hyperbolic disk (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery
• KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings
• Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch