Эйлерова характеристика
Эйлерова характеристика или характеристика Эйлера — Пуанкаре — целочисленная характеристика топологического пространства. Эйлерова характеристика пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] обычно обозначается [math]\displaystyle{ \chi(X) }[/math].
Определения
- Для конечного клеточного комплекса (в частности для конечного симплициального комплекса) эйлерова характеристика может быть определена как знакопеременная сумма
- [math]\displaystyle{ \chi=k_0-k_1+k_2-..., }[/math]
- где [math]\displaystyle{ k_i }[/math] обозначает число клеток размерности [math]\displaystyle{ i }[/math].
- Эйлерова характеристика произвольного топологического пространства может быть определена через числа Бетти [math]\displaystyle{ b_n }[/math] как знакопеременная сумма:
- [math]\displaystyle{ \chi=b_0 - b_1 + b_2 - b_3 +\, ... }[/math]
- Это определение имеет смысл только если все числа Бетти конечны и обнуляются для всех достаточно больших индексов.
- Последнее определение обобщает предыдущее и обобщается на другие гомологии с произвольными коэффициентами.
Свойства
- Эйлерова характеристика является гомотопическим инвариантом; то есть сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств.
- В частности, эйлерова характеристика есть топологический инвариант.
- Эйлерова характеристика любого замкнутого многообразия нечётной размерности равна нулю[1].
- Эйлерова характеристика произведения топологических пространств M и N равна произведению их эйлеровых характеристик:
- [math]\displaystyle{ \chi(M \times N) = \chi(M) \cdot \chi(N). }[/math]
Эйлерова характеристика полиэдров
- Эйлерова характеристика двумерных топологических полиэдров может быть посчитана по формуле [math]\displaystyle{ \chi = \Gamma - \mathrm{P} + \mathrm{B}, }[/math] где Г, Р и В суть числа граней, рёбер и вершин соответственно. В частности, для односвязного многогранника верна формула Эйлера:
- [math]\displaystyle{ \Gamma - \mathrm{P} + \mathrm{B} = \chi(S^2) = 2. }[/math]
- Например, Эйлерова характеристика для куба равна 6 − 12 + 8 = 2, а для треугольной пирамиды 4 − 6 + 4 = 2.
Формула Гаусса — Бонне
Для компактного двумерного ориентированного риманова многообразия (поверхности) [math]\displaystyle{ S }[/math] без границы существует формула Гаусса — Бонне, связывающая эйлерову характеристику [math]\displaystyle{ \chi(S) }[/math] с гауссовой кривизной [math]\displaystyle{ K }[/math] многообразия:
- [math]\displaystyle{ \int\limits_S K\;d\sigma = 2\pi\chi(S), }[/math]
где [math]\displaystyle{ d\sigma }[/math] — элемент площади поверхности [math]\displaystyle{ S }[/math].
- Существует обобщение формулы Гаусса — Бонне для двумерного многообразия с краем.
- Существует обобщение формулы Гаусса — Бонне на чётномерное риманово многообразие, известная, как теорема Гаусса — Бонне — Черна или обобщённая формула Гаусса — Бонне.
- Существует также дискретный аналог теоремы Гаусса — Бонне, гласящий, что Эйлерова характеристика равна сумме дефектов полиэдра, делённой на [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math][2].
- Существует комбинаторные аналоги формулы Гаусса — Бонне.
Ориентируемые и неориентируемые поверхности
Эйлерова характеристика замкнутой ориентируемой поверхности связана с её родом g (числом ручек, то есть числом торов в связной сумме, представляющей эту поверхность) соотношением
- [math]\displaystyle{ \chi = 2 - 2g.\ }[/math]
Эйлерова характеристика замкнутой неориентируемой поверхности связана с её неориентируемым родом k (числом проективных плоскостей в связной сумме, представляющей эту поверхность) соотношением
- [math]\displaystyle{ \chi = 2 - k.\ }[/math]
Величина эйлеровой характеристики
Название | Вид | Эйлерова характеристика |
---|---|---|
Отрезок | 1 | |
Окружность | 0 | |
Круг | 1 | |
сфера | ![]() |
2 |
Тор (произведение двух окружностей) |
![]() |
0 |
Двойной тор | ![]() |
−2 |
Тройной тор | ![]() |
−4 |
Вещественная проективная плоскость |
![]() |
1 |
Лист Мёбиуса | ![]() |
0 |
Бутылка Клейна | ![]() |
0 |
Две сферы (несвязные) | ![]() ![]() |
2 + 2 = 4 |
Три сферы | ![]() ![]() ![]() |
2 + 2 + 2 = 6 |
История
В 1752 году Эйлер[3] опубликовал формулу, связывающую между собой количество граней трёхмерного многогранника. В оригинальной работе формула приводится в виде
- [math]\displaystyle{ S+H=A+2, }[/math]
где S — количество вершин, H — количество граней, A — количество рёбер.
Ранее эта формула встречается в рукописях Рене Декарта, опубликованных в XVIII в.
В 1812 году Симон Люилье распространил эту формулу на многогранники с «дырками» (например, на тела наподобие рамы картины). В работе Люилье в правую часть формулы Эйлера добавлено слагаемое [math]\displaystyle{ (-2g), }[/math] где [math]\displaystyle{ g }[/math] — количество дырок («род поверхности»). Проверка для картинной рамы: 16 граней, 16 вершин, 32 ребра, 1 дырка: [math]\displaystyle{ 16+16=32+2-2\cdot 1. }[/math]
В 1899 году Пуанкаре[4] обобщил эту формулу на случай N-мерного многогранника:
- [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^{N-1}{(-1)}^i A_i =1+{(-1)}^{N-1}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ A_i }[/math] — количество i-мерных граней N-мерного многогранника.
Если считать сам многогранник своей собственной единственной гранью размерности N, формулу можно записать в более простом виде:
- [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^{N}{(-1)}^i A_i =1. }[/math]
Вариации и обобщения
- Уравнения Дена — Сомервиля — полный набор линейных соотношений на количество граней разных размерностей у простого многогранника.
См. также
Примечания
- ↑ Richeson 2008, p. 261
- ↑ Practical Polygonal Mesh Modeling with Discrete Gaussian-Bonnet Theorem
- ↑ L. Euler Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum, quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 4:140-160, 1758. Представлено Санкт-Петербургской Академии 6 апреля 1752 года. Opera Omnia 1(26): 94-108.
- Перевод на английский язык: Leonhard Euler Proof of Some Notable Properties with wich Solids Enclosed by Plane Faces are Endowed. (Translated by Christopher Francese and David Richeson)
- ↑ H. Poincaré, Sur la généralisation d’un théorème d’Euler relatif aux polyèdres, Compt. Rend. Acad. Sci., 117 (1893), 144—145; Oeuvres, Vol. XI, 6-7.
Литература
- Долбилин Н. Три теоремы о выпуклых многогранниках // Квант. — 2001. — № 5. — С. 7—12.
- Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы / Пер. И. Н. Веселовского. — М.: Наука, 1967.
- Шашкин Ю. А. Эйлерова характеристика. — М.: Наука, 1984. — Т. 58. — (Популярные лекции по математике).
- Ю. М. Бурман Эйлерова характеристика Летняя школа «Современная математика», 2012, г. Дубна
Для улучшения этой статьи по математике желательно: |