Правильный многогранник

Правильный многогранник или плато́ново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.
Определение
Многогранник называется правильным, если:
- он выпуклый;
- все его грани являются равными правильными многоугольниками;
- в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер.
Список правильных многогранников
В трёхмерном евклидовом пространстве существует всего пять правильных многогранников[1] (упорядочены по числу граней):
Изображение | Правильный многогранник | Число вершин | Число рёбер | Число граней | Число сторон у грани | Число рёбер, примыкающих к вершине | Тип пространственной симметрии |
---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() |
Тетраэдр | 4 | 6 | 4 | 3 | 3 | Td |
![]() |
Гексаэдр | 8 | 12 | 6 | 4 | 3 | Oh |
![]() |
Октаэдр | 6 | 12 | 8 | 3 | 4 | Oh |
![]() |
Додекаэдр | 20 | 30 | 12 | 5 | 3 | Ih |
![]() |
Икосаэдр | 12 | 30 | 20 | 3 | 5 | Ih |
Название каждого многогранника происходит от греческого наименования количества его граней и слова «грань».
История
Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.
В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.
Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Огню соответствовал тетраэдр, земле — гексаэдр, воздуху — октаэдр, воде — икосаэдр. Данные сопоставления пояснялись следующими ассоциациями: жар огня ощущается чётко и остро, как пирамидки-тетраэдры; мельчайшие компоненты воздуха октаэдры настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков, к которым ближе всего икосаэдры; в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики-гексаэдры составляют землю, которые являются причиной того, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца».
Аристотель добавил пятый элемент — эфир — и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.
Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал. Предложения 13—17 этой книги описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке. Для каждого многогранника Евклид нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В 18-м предложении утверждается, что не существует других правильных многогранников. Математик из Базельского университета Андреас Шпейзер отстаивал точку зрения, что построение пяти правильных многогранников является главной целью дедуктивной системы геометрии в том виде, как та была создана греками и канонизирована в «Началах» Евклида[2]. Большое количество информации XIII книги «Начал», возможно, взято из трудов Теэтета.
В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками. В книге «Тайна мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб. Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера — Пуансо).
Комбинаторные свойства
- Эйлером была выведена формула, связывающая число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) любого выпуклого многогранника простым соотношением:
- В + Г = Р + 2.
- Отношение количества вершин правильного многогранника к количеству рёбер одной его грани равно отношению количества граней этого же многогранника к количеству рёбер, выходящих из одной его вершины. У тетраэдра это отношение равно 4:3, у гексаэдра и октаэдра — 2:1, а у додекаэдра и икосаэдра — 4:1.
- Правильный многогранник может быть комбинаторно описан символом Шлефли {p, q}, где:
- p — число рёбер в каждой грани;
- q — число рёбер, сходящихся в каждой вершине.
- Символы Шлефли для правильных многогранников приведены в следующей таблице:
Многогранник Вершины Рёбра Грани Символ Шлефли тетраэдр 4 6 4 {3, 3} гексаэдр (куб) 8 12 6 {4, 3} октаэдр 6 12 8 {3, 4} додекаэдр 20 30 12 {5, 3} икосаэдр 12 30 20 {3, 5}
- Другой комбинаторной характеристикой многогранника, которую можно выразить через числа p и q, является общее количество вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г). Поскольку любое ребро соединяет две вершины и лежит между двумя гранями, выполняются соотношения:
- [math]\displaystyle{ p\Gamma = 2\mbox{P} = q\mbox{B}. }[/math]
- Из этих соотношений и формулы Эйлера можно получить следующие выражения для В, Р и Г:
- [math]\displaystyle{ \mbox{B} = \frac{4p}{4 - (p-2)(q-2)},\quad \mbox{P} = \frac{2pq}{4 - (p-2)(q-2)},\quad \Gamma = \frac{4q}{4 - (p-2)(q-2)}. }[/math]
Геометрические свойства
Углы
С каждым правильным многогранником связаны определённые углы, характеризующие его свойства. Двугранный угол между смежными гранями правильного многогранника {p, q} задаётся формулой:
[math]\displaystyle{ \sin{\theta\over 2} = \frac{\cos(\pi/q)}{\sin(\pi/p)}. }[/math]
Иногда удобнее пользоваться выражением через тангенс:
- [math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\,\frac{\theta}{2} = \frac{\cos(\pi/q)}{\sin(\pi/h)}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ h }[/math] принимает значения 4, 6, 6, 10 и 10 для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра соответственно.
Угловой дефект при вершине многогранника — это разность между 2π и суммой углов между рёбрами каждой грани при этой вершине. Дефект [math]\displaystyle{ \delta }[/math] при любой вершине правильного многогранника:
- [math]\displaystyle{ \delta = 2\pi - q\pi\left(1-{2\over p}\right). }[/math]
По теореме Декарта, он равен [math]\displaystyle{ 4\pi }[/math] делённым на число вершин (то есть суммарный дефект при всех вершинах равен [math]\displaystyle{ 4\pi }[/math]).
Трёхмерным аналогом плоского угла является телесный угол. Телесный угол Ω при вершине правильного многогранника выражается через двугранный угол между смежными гранями этого многогранника по формуле:
- [math]\displaystyle{ \Omega = q\theta - (q-2)\pi. }[/math]
Телесный угол, стягиваемый гранью правильного многогранника, с вершиной в центре этого многогранника, равен телесному углу полной сферы ([math]\displaystyle{ 4\pi }[/math] стерадиан), делённому на число граней. Он также равен угловому дефекту дуального к данному многогранника.
Различные углы правильных многогранников приведены в следующей таблице. Числовые значения телесных углов даны в стерадианах. Константа [math]\displaystyle{ \varphi=\tfrac{1+\sqrt{5}}{2} }[/math] — золотое сечение.
Многогранник | Двугранный угол θ |
[math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\frac{\theta}{2} }[/math] | Плоский угол между рёбрами при вершине | Угловой дефект (δ) | Телесный угол при вершине (Ω) | Телесный угол, стягиваемый гранью | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
тетраэдр | 70.53° | [math]\displaystyle{ 1\over{\sqrt 2} }[/math] | 60° | [math]\displaystyle{ \pi }[/math] | [math]\displaystyle{ \arccos\left(\frac{23}{27}\right) }[/math] | [math]\displaystyle{ \approx 0.551286 }[/math] | [math]\displaystyle{ \pi }[/math] |
куб | 90° | 1 | 90° | [math]\displaystyle{ \pi\over 2 }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ \approx 1.57080 }[/math] | [math]\displaystyle{ 2\pi\over 3 }[/math] |
октаэдр | 109.47° | √2 | 60°, 90° | [math]\displaystyle{ {2\pi}\over 3 }[/math] | [math]\displaystyle{ 4\arcsin\left({1\over 3}\right) }[/math] | [math]\displaystyle{ \approx 1.35935 }[/math] | [math]\displaystyle{ \pi\over 2 }[/math] |
додекаэдр | 116.57° | [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] | 108° | [math]\displaystyle{ \pi\over 5 }[/math] | [math]\displaystyle{ \pi - \operatorname{arctg}\left(\frac{2}{11}\right) }[/math] | [math]\displaystyle{ \approx 2.96174 }[/math] | [math]\displaystyle{ \pi\over 3 }[/math] |
икосаэдр | 138.19° | [math]\displaystyle{ \varphi^2 }[/math] | 60°, 108° | [math]\displaystyle{ \pi\over 3 }[/math] | [math]\displaystyle{ 2\pi - 5\arcsin\left({2\over 3}\right) }[/math] | [math]\displaystyle{ \approx 2.63455 }[/math] | [math]\displaystyle{ \pi\over 5 }[/math] |
Радиусы, площади и объёмы
С каждым правильным многогранником связаны три концентрические сферы:
- Описанная сфера, проходящая через вершины многогранника;
- Срединная сфера, касающаяся каждого его ребра в середине;
- Вписанная сфера, касающаяся каждой его грани в её центре.
Радиусы описанной ([math]\displaystyle{ R }[/math]) и вписанной ([math]\displaystyle{ r }[/math]) сфер задаются формулами:
- [math]\displaystyle{ R = {a\over 2}\cdot\operatorname{tg}\frac{\pi}{q}\cdot\operatorname{tg}\frac{\theta}{2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ r = {a\over 2}\cdot\operatorname{ctg}\frac{\pi}{p}\cdot\operatorname{tg}\frac{\theta}{2}, }[/math]
где θ — двугранный угол между смежными гранями многогранника. Радиус срединной сферы задаётся формулой:
- [math]\displaystyle{ \rho = \frac{a\cos(\pi/p)}{2\sin(\pi/h)}, }[/math]
где h — величина описанная выше, при определении двугранных углов (h = 4, 6, 6, 10 или 10). Отношения описанных радиусов к вписанным радиусам симметрично относительно p и q:
- [math]\displaystyle{ {R\over r} = \operatorname{tg}\frac{\pi}{p}\cdot\operatorname{tg}\frac{\pi}{q}. }[/math]
Площадь поверхности S правильного многогранника {p, q} вычисляется, как площадь правильного p-угольника, умноженная на число граней Г:
- [math]\displaystyle{ S = \left({a\over 2}\right)^2 \Gamma p\,\operatorname{ctg}\frac{\pi}{p}. }[/math]
Объём правильного многогранника вычисляется, как умноженный на число граней объём правильной пирамиды, основанием которой служит правильный p-угольник, а высотой — радиус вписанной сферы r:
- [math]\displaystyle{ V = {1\over 3}rS. }[/math]
Приведённая таблица содержит список различных радиусов, площадей поверхностей и объёмов правильных многогранников. Значение длины ребра a в таблице приравнены к 2.
Многогранник (a = 2) |
Радиус вписанной сферы (r) | Радиус срединной сферы (ρ) | Радиус описанной сферы (R) | Площадь поверхности (S) | Объём (V) |
---|---|---|---|---|---|
тетраэдр | [math]\displaystyle{ 1\over {\sqrt 6} }[/math] | [math]\displaystyle{ 1\over {\sqrt 2} }[/math] | [math]\displaystyle{ \sqrt{3\over 2} }[/math] | [math]\displaystyle{ 4\sqrt 3 }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{2\sqrt 2}{3} }[/math] |
куб | [math]\displaystyle{ 1 }[/math] | [math]\displaystyle{ \sqrt 2 }[/math] | [math]\displaystyle{ \sqrt 3 }[/math] | [math]\displaystyle{ 24 }[/math] | [math]\displaystyle{ 8 }[/math] |
октаэдр | [math]\displaystyle{ \sqrt{2\over 3} }[/math] | [math]\displaystyle{ 1 }[/math] | [math]\displaystyle{ \sqrt 2 }[/math] | [math]\displaystyle{ 8\sqrt 3 }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{8\sqrt 2}{3} }[/math] |
додекаэдр | [math]\displaystyle{ \frac{\varphi^2}{\xi} }[/math] | [math]\displaystyle{ \varphi^2 }[/math] | [math]\displaystyle{ \sqrt 3\,\varphi }[/math] | [math]\displaystyle{ 60\frac{\varphi}{\xi} }[/math] | [math]\displaystyle{ 20\frac{\varphi^3}{\xi^2} }[/math] |
икосаэдр | [math]\displaystyle{ \frac{\varphi^2}{\sqrt 3} }[/math] | [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] | [math]\displaystyle{ \xi\varphi }[/math] | [math]\displaystyle{ 20\sqrt 3 }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{20\varphi^2}{3} }[/math] |
Константы φ и ξ задаются выражениями
- [math]\displaystyle{ \varphi = 2\cos{\pi\over 5} = \frac{1+\sqrt 5}{2}\qquad\xi = 2\sin{\pi\over 5} = \sqrt{\frac{5-\sqrt 5}{2}} = 5^{1/4}\varphi^{-1/2} = \sqrt{3-\varphi}. }[/math]
Среди правильных многогранников как додекаэдр, так и икосаэдр представляют собой лучшее приближение к сфере. Икосаэдр имеет наибольшее число граней, наибольший двугранный угол и плотнее всего прижимается к своей вписанной сфере. С другой стороны, додекаэдр имеет наименьший угловой дефект, наибольший телесный угол при вершине и максимально заполняет свою описанную сферу.
В больших размерностях
В четырёхмерном пространстве существует шесть правильных многогранников (многоячейников):
![]() Пятиячейник |
![]() Тессеракт |
![]() Шестнадцатиячейник |
![]() Двадцатичетырёхъячейник |
![]() Стодвадцатиячейник |
![]() Шестисотячейник |
В каждом из пространств более высоких размерностей [math]\displaystyle{ n\gt 4 }[/math] существует по три правильных многогранника (политопа):
- n-мерный правильный симплекс
- n-мерный гиперкуб
- n-мерный гипероктаэдр
См. также
- Правильный многоугольник
- Полуправильный многогранник
- Многогранник Джонсона
- Звёздчатый многогранник
- Двойственный многогранник
- Правильные многомерные многогранники
Примечания
- ↑ Селиванов Д. Ф.,. Тело геометрическое // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
- ↑ Герман Вейль. «Симметрия». Перевод с английского Б. В. Бирюкова и Ю. А. Данилова под редакцией Б. А. Розенфельда. Издательство «Наука». Москва. 1968. стр. 101
Ссылки
- Смирнов Е. Ю. Группы Кокстера и правильные многогранники // Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2008.
- Weisstein, Eric W. Platonic Solids (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Фанаты математики/геометрия. (англ.)
- Бумажные модели правильных многогранников. (англ.)
- Наука/геометрия/платоновы и архимедовы тела. (англ.)
- Платоновы, Архимедовы тела, призмы, тела Кеплера-Пуансо и усечённые тела Кеплера-Пуансо. (англ.)
- М. Веннинджер. Модели многогранников. — Москва: Мир, 1974. — 236 с.
- Гончар В. В. Модели многогранников. — Москва: Аким, 1997. — 64 с. — ISBN 5-85399-032-2.
- Гончар В. В., Гончар Д. Р. Модели многогранников. — Ростов-на-Дону: Феникс, 2010. — 143 с. — ISBN 978-5-222-17061-8.