Усечённый октаэдр

Усечённый октаэдр
Усечённый октаэдр
	(вращающаяся модель, 3D-модель)
	-
Тип	архимедово тело
Свойства	выпуклый, изогональный, перестановочный, параллелоэдр, зоноэдр
Комбинаторика
14 граней; 36 рёбер; 24 вершины	Χ = 2
Грани	6 квадратов; 8 шестиугольников
Конфигурация вершины	4.62
Двойственный многогранник	тетракисгексаэдр
	Развёртка
Классификация
Обозначения	tO, bT
Символ Шлефли	tr{3,3}
Группа симметрии	Oh (октаэдрическая)

Усечённый окта́эдр^[1]^[2]^[3] — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 14 гранями, составленный из 6 квадратов и 8 правильных шестиугольников.

В каждой из его 24 одинаковых вершин сходятся две шестиугольных грани и одна квадратная. Телесный угол при вершине равен в точности [math]\displaystyle{ \pi. }[/math]

Усечённый октаэдр имеет 36 рёбер равной длины. При 12 рёбрах (между двумя шестиугольными гранями) двугранные углы равны [math]\displaystyle{ \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) \approx 109{,}47^\circ, }[/math] как в октаэдре; при 24 рёбрах (между квадратной и шестиугольной гранями) [math]\displaystyle{ \arccos\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right) \approx 125{,}26^\circ, }[/math] как в кубооктаэдре.

Усечённый октаэдр можно получить из обычного октаэдра, «срезав» с того 6 квадратных пирамид, — либо как пересечение имеющих общий центр октаэдра и куба.

Иллюстрация Леонардо да Винчи для трактата Луки Пачоли «О божественной пропорции» (1509)

В координатах

Усечённый октаэдр с длиной ребра [math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math] можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными перестановками чисел [math]\displaystyle{ (0;\;\pm1;\;\pm2). }[/math]

Начало координат [math]\displaystyle{ (0;\;0;\;0) }[/math] будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Метрические характеристики

Если усечённый октаэдр имеет ребро длины [math]\displaystyle{ a }[/math], его площадь поверхности и объём выражаются как

[math]\displaystyle{ S = 6\left(1+2\sqrt3\right)a^2 \approx 26{,}7846097a^2, }[/math]

[math]\displaystyle{ V = 8\sqrt2\;a^3 \approx 11{,}3137085a^3. }[/math]

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

[math]\displaystyle{ R = \frac{\sqrt{10}}{2}\;a \approx 1{,}5811388a; }[/math]

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

[math]\displaystyle{ \rho = \frac{3}{2}\;a = 1{,}5000000a. }[/math]

Вписать в усечённый октаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри усечённого октаэдра с ребром [math]\displaystyle{ a }[/math] (она будет касаться только всех шестиугольных граней в их центрах), равен

[math]\displaystyle{ r_6 = \frac{\sqrt6}{2}\;a \approx 1{,}2247449a. }[/math]

Расстояние от центра многогранника до любой квадратной грани превосходит [math]\displaystyle{ r_6 }[/math] и равно

[math]\displaystyle{ r_4 = \sqrt2\;a \approx 1{,}4142136a. }[/math]

Заполнение пространства

С помощью усечённых октаэдров можно замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений.

Фрагмент заполнения
Рёберная модель

Кроме того, пространство можно замостить усечёнными октаэдрами вместе с усечёнными кубооктаэдрами и кубами; вместе с усечёнными тетраэдрами и кубооктаэдрами.

Усечённые кубооктаэдры, усечённые октаэдры и кубы
Усечённые октаэдры, усечённые тетраэдры и кубооктаэдры.

В природе и культуре

Формы, близкие к усечённому октаэдру, встречаются у кристаллов флюорита (плавикового шпата), пирита, в атомных структурах содалита, фожазита.

Флюорит
Пирит
Атомная структура содалита

Ячейка в форме усечённого октаэдра используется при моделировании молекулярной динамики с периодическими граничными условиями для увеличения эффективности вычислений по сравнению с ячейками в форме параллелепипеда.

В виде усечённого октаэдра был выполнен Adidas Teamgeist, официальный мяч чемпионата мира по футболу 2006 года. Это первый подобный мяч чемпионата мира, состоящий из 14 панелей; ранее мячи изготавливались из 32 панелей и напоминали усечённый икосаэдр.