Шаблон:Навигатор точечных групп в 3d
Группы сферической симметрии также называются точечными группами в трёхмерном пространстве, однако эта статья рассматривает только конечные симметрии.
Существует пять фундаментальных классов симметрии, которыми обладают треугольные фундаментальные области: диэдрическая, циклическая, тетраэдральная симметрия, октаэдральная симметрия[англ.] и икосаэдральная симметрия.
Статья перечисляет группы согласно символам Шёнфлиса, записи Коксетера[англ.] [1], орбифолдной записи[англ.] [2] и порядка. Конвей использовал вариант записи Шёнфлиса, основанном на алгебраической структуре группы кватернионов, с обозначениями одной или двумя заглавными буквами и полным набором нижних числовых индексов. Порядок группы обозначается индексом, если только он не удваивается символом плюс-минус ("±"), который подразумевает центральную симметрию [3].
Символика Германа — Могена (интернациональная запись) приводится также. Группы кристаллографии, 32 в общем числе, являются подмножеством с элементами порядка 2, 3, 4 и 6 [4].
Симметрии-инволюции
Имеется четыре симметрии, которые являются обратными себе, т.е. инволюциями: тождественное преобразование (C1), зеркальная симметрия (Cs), вращательная симметрия (C2), и центральная симметрия (Ci).
|
Инт.
|
Геом.
|
Ориб.
|
Шёнф.
|
Конвей
|
Кокс.
|
Пор.
|
Фунд. область
|
1
|
22
|
×
|
Ci = S2
|
CC2
|
[2+,2+]
|
2
|
|
2 = m
|
1
|
*
|
Cs = C1v = C1h
|
±C1 = CD2
|
[ ]
|
2
|
|
|
Циклическая симметрия
Существуют четыре бесконечных семейства циклической симметрии[англ.] с n=2 и выше. (n может быть равен 1 как особый случай нет симметрии)
Инт.
|
Гео
|
Орб.
|
Шёнф.
|
Конвей.
|
Кокс.
|
Пор.
|
Фунд. область
|
2
|
2
|
22
|
C2 = D1
|
C2 = D2
|
[2]+ [2,1]+
|
2
|
|
mm2
|
2
|
*22
|
C2v = D1h
|
CD4 = DD4
|
[2] [2,1]
|
4
|
|
4
|
42
|
2×
|
S4
|
CC4
|
[2+,4+]
|
4
|
|
2/m
|
22
|
2*
|
C2h = D1d
|
±C2 = ±D2
|
[2,2+] [2+,2]
|
4
|
|
|
Инт.
|
Геом.
|
Орб.
|
Шёнф.
|
Конвей
|
Кокс.
|
Пор.
|
Фунд. область
|
3 4 5 6 n
|
3 4 5 6 n
|
33 44 55 66 nn
|
C3 C4 C5 C6 Cn
|
C3 C4 C5 C6 Cn
|
[3]+ [4]+ [5]+ [6]+ [n]+
|
3 4 5 6 n
|
|
3m 4mm 5m 6mm -
|
3 4 5 6 n
|
*33 *44 *55 *66 *nn
|
C3v C4v C5v C6v Cnv
|
CD6 CD8 CD10 CD12 CD2n
|
[3] [4] [5] [6] [n]
|
6 8 10 12 2n
|
|
3 8 5 12 -
|
62 82 10.2 12.2 2n.2
|
3× 4× 5× 6× n×
|
S6 S8 S10 S12 S2n
|
±C3 CC8 ±C5 CC12 CC2n / ±Cn
|
[2+,6+] [2+,8+] [2+,10+] [2+,12+] [2+,2n+]
|
6 8 10 12 2n
|
|
3/m=6 4/m 5/m=10 6/m n/m
|
32 42 52 62 n2
|
3* 4* 5* 6* n*
|
C3h C4h C5h C6h Cnh
|
CC6 ±C4 CC10 ±C6 ±Cn / CC2n
|
[2,3+] [2,4+] [2,5+] [2,6+] [2,n+]
|
6 8 10 12 2n
|
|
|
Диэдральная симметрия
Существует три бесконечных семейства с диэдральной симметрией[англ.] с n равным 2 и выше. (n может быть равен 1 как специальный случай)
|
Инт.
|
Геом.
|
Орб.
|
Шёнф.
|
Конвей
|
Кокс.
|
Пор.
|
Фунд. область
|
32 422 52 622
|
3.2 4.2 5.2 6.2 n.2
|
223 224 225 226 22n
|
D3 D4 D5 D6 Dn
|
D6 D8 D10 D12 D2n
|
[2,3]+ [2,4]+ [2,5]+ [2,6]+ [2,n]+
|
6 8 10 12 2n
|
|
3m 82m 5m 12.2m
|
62 82 10.2 12.2 n2
|
2*3 2*4 2*5 2*6 2*n
|
D3d D4d D5d D6d Dnd
|
±D6 DD16 ±D10 DD24 DD4n / ±D2n
|
[2+,6] [2+,8] [2+,10] [2+,12] [2+,2n]
|
12 16 20 24 4n
|
|
6m2 4/mmm 10m2 6/mmm
|
32 42 52 62 n2
|
*223 *224 *225 *226 *22n
|
D3h D4h D5h D6h Dnh
|
DD12 ±D8 DD20 ±D12 ±D2n / DD4n
|
[2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2,n]
|
12 16 20 24 4n
|
|
|
Симметрии многогранников
Существует три типа симметрии многогранников[англ.]: тетраэдральная симметрия, октаэдральная симметрия[англ.] и икосаэдральная симметрия, названные по правильным многогранникам с треугольными гранями, которые обладают такими симметриями.
|
Октаэдральная симметрия[англ.]
Инт.
|
Геом.
|
Орб.
|
Шёнф.
|
Конвей
|
Кокс.
|
Пор.
|
Фунд. область
|
432
|
4.3
|
432
|
O
|
O
|
[4,3]+ = [[3,3]]+
|
24
|
|
m3m
|
43
|
*432
|
Oh
|
±O
|
[4,3] = [[3,3]]
|
48
|
|
Икосаэдральная симметрия
Инт.
|
Геом.
|
Орб.
|
Шёнф.
|
Конвей
|
Кокс.
|
Пор.
|
Фунд. область
|
532
|
5.3
|
532
|
I
|
I
|
[5,3]+
|
60
|
|
532/m
|
53
|
*532
|
Ih
|
±I
|
[5,3]
|
120
|
|
|
См. также
Примечания
Литература
- Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), Appendix I
- Donald E. Sands. Crystal Systems and Geometry // Introduction to Crystallography. — Mineola, New York: Dover Publications, Inc., 1993. — С. 165. — ISBN 0-486-67839-3.
- Джон Х. Конвей, Дерек А. Смит. О кватернионах и октавах = On Quaternions and Octonions. — Москва: МЦНМО, 2009. — ISBN 978-5-94057-517-7.
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — New-York: A K Peters/CRC Press,, 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.
- H.S.M. Coxeter. Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss,. — Wiley-Interscience Publication,, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6.
- (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
- Norman Johnson. Chapter 11: Finite symmetry groups // Geometries and Transformations. — 2015.
- D. Hestenes[англ.], J. Holt. The Crystallographic Space groups in Geometric algebra // Journal of Mathematical Physics. — 2007. — Вып. 48, 023514.
Внешние ссылки