Подгруппа

Подгруппа ― подмножество [math]\displaystyle{ H }[/math] группы [math]\displaystyle{ G }[/math], само являющееся группой относительно операции, определяющей [math]\displaystyle{ G }[/math].

Подмножество [math]\displaystyle{ H }[/math] группы [math]\displaystyle{ G }[/math] является её подгруппой тогда и только тогда, когда:

1. [math]\displaystyle{ H }[/math] содержит единичный элемент из [math]\displaystyle{ G }[/math]
2. содержит произведение любых двух элементов из [math]\displaystyle{ H }[/math],
3. содержит вместе со всяким своим элементом [math]\displaystyle{ h }[/math] обратный к нему элемент [math]\displaystyle{ h^{-1} }[/math].

В случае конечных и, вообще, периодических групп третье условие является следствием первых двух.

Примеры

• Подмножество группы [math]\displaystyle{ G }[/math], состоящее из одного элемента [math]\displaystyle{ 1 }[/math], будет, очевидно, подгруппой, и эта подгруппа называется единичной подгруппой группы [math]\displaystyle{ G }[/math].
• Сама [math]\displaystyle{ G }[/math] также является своей подгруппой.

Связанные определения

• Всякая подгруппа, отличная от всей группы, называется истинной подгруппой этой группы. Истинная подгруппа некоторой бесконечной группы может быть изоморфна самой группе.
• Сама группа [math]\displaystyle{ G }[/math] и единичная подгруппа называется несобственными подгруппами группы [math]\displaystyle{ G }[/math], все остальные ― собственными.
• Пересечение всех подгрупп группы [math]\displaystyle{ G }[/math], содержащих все элементы некоторого непустого множества [math]\displaystyle{ M }[/math], называется подгруппой, порождённой множеством [math]\displaystyle{ M }[/math], и обозначается [math]\displaystyle{ \langle M\rangle }[/math].
  • Если [math]\displaystyle{ M }[/math] состоит из одного элемента [math]\displaystyle{ a }[/math], то [math]\displaystyle{ \langle a\rangle }[/math] называется циклической подгруппой элемента [math]\displaystyle{ a }[/math].
  • Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп, называется циклической группой.
• Если группа [math]\displaystyle{ G_1 }[/math] изоморфна некоторой подгруппе [math]\displaystyle{ H }[/math] группы [math]\displaystyle{ G }[/math], то говорят, что группа [math]\displaystyle{ G_1 }[/math] может быть вложена в группу [math]\displaystyle{ G }[/math].
• Если [math]\displaystyle{ H }[/math] — подгруппа группы [math]\displaystyle{ G }[/math], то для любого [math]\displaystyle{ a\in G }[/math] подмножество

  [math]\displaystyle{ aHa^{-1}=\{\,aha^{-1}\mid h\in H\,\} }[/math]

является подгруппой. При этом подгруппы [math]\displaystyle{ aHa^{-1} }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math] называются сопряжёнными.

Основные свойства

• Пересечение подгрупп А и В также является подгруппой.
• Все подгруппы образуют полную решетку по включению, называемую решеткой подгрупп.
• Непустое множество [math]\displaystyle{ H\subset G }[/math] является подгруппой группы [math]\displaystyle{ G }[/math] тогда и только тогда, когда для любых [math]\displaystyle{ a, b \in H }[/math] выполняется [math]\displaystyle{ ab^{-1} \in H. }[/math]
• Теоретико-множественное пересечение любых двух (и любого множества) подгрупп группы [math]\displaystyle{ G }[/math] является подгруппой группы [math]\displaystyle{ G }[/math].
• Теоретико-множественное объединение подгрупп, вообще говоря, не обязано являться подгруппой. Объединением подгрупп [math]\displaystyle{ H }[/math] и [math]\displaystyle{ K }[/math] называется подгруппа, порожденная объединением множеств [math]\displaystyle{ H\cup K }[/math].
• Гомоморфный образ подгрупп ― подгруппа.
• Если даны две группы и каждая из них изоморфна некоторой истинной подгруппе другой, то отсюда ещё не следует изоморфизм самих этих групп.

Смежные классы

Для подгруппы [math]\displaystyle{ H }[/math] и некоторого элемента [math]\displaystyle{ a \in G }[/math], определяется левый смежный класс [math]\displaystyle{ aH = \{ax: x \in H\} }[/math]. Количество левых смежных классов подгруппы [math]\displaystyle{ H }[/math] называется индексом подгруппы [math]\displaystyle{ H }[/math] в [math]\displaystyle{ G }[/math] и обозначается [math]\displaystyle{ [G: H] }[/math]. Аналогично можно определить правые классы смежности [math]\displaystyle{ Ha = \{xa: x \in H\} }[/math].

Если левые и правые классы смежности подгруппы совпадают, то она называется нормальной. Это свойство даёт возможность построить факторгруппу [math]\displaystyle{ G/H }[/math] группы [math]\displaystyle{ G }[/math] по нормальной подгруппе [math]\displaystyle{ H }[/math].

Литература

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — М.: Наука, 1967. — 648 с.
• Журавлёв Ю. И., Флёров Ю. А., Вялый М. Н. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — 2-е изд. — М.: МЗ Пресс, 2007. — С. 24—25. — 224 с.