Квадратное уравнение
Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение второй степени вида
- [math]\displaystyle{ ax^2 + bx + c = 0, \; a \ne 0, }[/math]
где [math]\displaystyle{ x }[/math] — неизвестное, а коэффициенты [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math] и [math]\displaystyle{ c }[/math] — вещественные или комплексные числа.
Корень уравнения [math]\displaystyle{ ax^2 + bx + c = 0 }[/math] — это значение [math]\displaystyle{ x }[/math], обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное числовое равенство. Также это значение называется корнем самого многочлена [math]\displaystyle{ ax^2 + bx + c. }[/math]
Коэффициенты [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math] и [math]\displaystyle{ с }[/math] имеют собственные названия[1]:
- [math]\displaystyle{ a }[/math] называют первым или старшим коэффициентом,
- [math]\displaystyle{ b }[/math] называют вторым, средним коэффициентом или коэффициентом при [math]\displaystyle{ x }[/math],
- [math]\displaystyle{ c }[/math] называют свободным членом.
Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице[1]. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент [math]\displaystyle{ a }[/math]:
- [math]\displaystyle{ x^2 + px + q = 0, \quad p=\frac{b}{a}, \quad q=\frac{c}{a}. }[/math]
Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.
Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.
Квадратное уравнение является разрешимым в радикалах, то есть его корни могут быть выражены через коэффициенты в виде общей формулы, включающей арифметические действия и извлечение квадратного корня.
Исторические сведения о квадратных уравнениях
Древний Вавилон
Уже во втором тысячелетии до нашей эры вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения[1]. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись:
- [math]\displaystyle{ x^2+x=\frac{3}{4};\ x^2-x=14\frac{1}{2}. }[/math]
Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.
Индия
Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанным индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Один из первых известных выводов формулы корней квадратного уравнения принадлежит индийскому учёному Брахмагупте (около 598 г.)[1]; Брахмагупта изложил универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду: [math]\displaystyle{ ax^2+bx=c; }[/math] притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме [math]\displaystyle{ a, }[/math] могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным.
Вещественные корни квадратного уравнения
В комплексных числах квадратное уравнение всегда имеет два корня (возможно, совпадающих). В действительных числах у квадратного уравнения может быть ноль, одно или два решения.
I способ. Общая формула для вычисления корней с помощью дискриминанта
Дискриминантом квадратного уравнения [math]\displaystyle{ ax^2 + bx + c=0 }[/math] называется величина [math]\displaystyle{ D=b^2 - 4ac }[/math].
Условие | [math]\displaystyle{ D \gt 0 }[/math] | [math]\displaystyle{ D = 0 }[/math] | [math]\displaystyle{ D \lt 0 }[/math] |
Количество корней | Два корня | Один корень кратности 2 (другими словами, два равных корня) |
Действительных корней нет |
Формула | — |
Данный метод универсальный, однако не единственный.
II способ. Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b
Для уравнений вида [math]\displaystyle{ ax^2 + 2kx + c = 0 }[/math], то есть при чётном [math]\displaystyle{ b }[/math], где
- [math]\displaystyle{ k=\frac{1}{2}b, }[/math]
вместо формулы (1) для нахождения корней существует возможность использования более простых выражений[1].
Примечание: данные ниже формулы можно получить, подставив в стандартные формулы выражение b = 2k, через несложные преобразования.
неприведённое | приведённое | D > 0 | неприведённое | приведённое |
удобнее вычислять значение
четверти дискриминанта:
Все необходимые свойства при этом сохраняются. |
[math]\displaystyle{ \frac{D}{4}=k^2-c }[/math]. | [math]\displaystyle{ x_{1, 2}=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a}. }[/math] | [math]\displaystyle{ x_{1,2}=-k\pm\sqrt{k^2-c} }[/math] | |
D = 0 | [math]\displaystyle{ x=\frac{-k}{a} }[/math] | [math]\displaystyle{ x=-k }[/math] |
III способ. Решение неполных квадратных уравнений
К решению неполных квадратных уравнений практикуется особый подход. Рассматриваются три возможных ситуации.
[math]\displaystyle{ \begin{alignat}{2} ax^2 &= 0, \\ x^2 &= 0, \\ x &= 0. \end{alignat} }[/math]
|
[math]\displaystyle{ \begin{align} ax^2+c &= 0, \\ ax^2 &= -c, \\ x^2 &= -\frac ca, \\ x_{1,2} &= \pm\sqrt{-\frac ca}. \end{align} }[/math]Если [math]\displaystyle{ -\frac{c}{a}\gt 0 }[/math], то уравнение имеет два действительных корня, a если [math]\displaystyle{ -\frac{c}{a}\lt 0; }[/math], то уравнение не имеет действительных корней. | [math]\displaystyle{ \begin{align} ax^2+bx &= 0, \\ x(ax+b) &= 0, \end{align} }[/math]
[math]\displaystyle{ x=0 }[/math] или [math]\displaystyle{ ax+b=0, }[/math][math]\displaystyle{ x_1=0,\quad x_2=-\frac{b}{a}. }[/math] Такое уравнение обязательно имеет два действительных корня |
IV способ. Использование частных соотношений коэффициентов
Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.
Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту
Если в квадратном уравнении [math]\displaystyle{ ax^2+bx+c=0 }[/math] сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту: [math]\displaystyle{ a+c=b }[/math], то его корнями являются [math]\displaystyle{ -1 }[/math] и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту ([math]\displaystyle{ -\frac{c}{a} }[/math]).
- Отсюда следует, что перед решением какого-либо квадратного уравнения целесообразна проверка возможности применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.
Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю
Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю ([math]\displaystyle{ a+b+c=0 }[/math]), то корнями такого уравнения являются [math]\displaystyle{ 1 }[/math] и отношение свободного члена к старшему коэффициенту ([math]\displaystyle{ \frac{c}{a} }[/math]).
- Отсюда следует, что перед решением уравнения стандартными методами целесообразна проверка применимости к нему этой теоремы, а именно сложение всех коэффициентов данного уравнения и установление, не равна ли нулю эта сумма.
V способ. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители
Если трёхчлен вида [math]\displaystyle{ ax^2 + bx +c ~ (a\not=0) }[/math] удастся каким-либо образом представить в качестве произведения линейных множителей [math]\displaystyle{ (kx+m)(lx+n)=0 }[/math], то можно найти корни уравнения [math]\displaystyle{ ax^2 + bx +c=0 }[/math] — ими будут [math]\displaystyle{ -\frac{m}{k} }[/math] и [math]\displaystyle{ -\frac{n}{l} }[/math], действительно, ведь [math]\displaystyle{ (kx+m)(lx+n)=0 \Longleftrightarrow \biggl[\begin{array}{lcl} kx+m=0, \\ lx+n=0, \end{array} }[/math] а решив указанные линейные уравнения, получим вышеописанное. Квадратный трёхчлен не всегда раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами: это возможно, если соответствующее ему уравнение имеет действительные корни.
Рассматриваются некоторые частные случаи.
Использование формулы квадрата суммы (разности)
Если квадратный трёхчлен имеет вид [math]\displaystyle{ (ax)^2 +2abx+b^2 }[/math], то применив к нему названную формулу, можно разложить его на линейные множители и, значит, найти корни:
- [math]\displaystyle{ (ax)^2 +2abx + b^2 = (ax+b)^2, }[/math]
- [math]\displaystyle{ (ax+b)^2 = 0, }[/math]
- [math]\displaystyle{ x=-\frac{b}{a}. }[/math]
Выделение полного квадрата суммы (разности)
Также названную формулу применяют, пользуясь методом, получившим названия «выделение полного квадрата суммы (разности)». Применительно к приведённому квадратному уравнению с введёнными ранее обозначениями, это означает следующее:
- прибавляют и отнимают одно и то же число:
[math]\displaystyle{ x^2 +px+(\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 +q =0; }[/math]. - применяют формулу к полученному выражению, переносят вычитаемое и свободный член в правую часть:
[math]\displaystyle{ (x^2 + 2\frac{p}{2}x +(\frac{p}{2})^2) + (- (\frac{p}{2})^2 +q)=0, }[/math]
[math]\displaystyle{ (x+\frac{p}{2})^2=\frac{p^2}{4}-q; }[/math] - извлекают из левой и правой частей уравнения квадратный корень и выражают переменную:
[math]\displaystyle{ x+\frac{p}{2}=\pm\sqrt {\frac{p^2}{4}-q}, }[/math]
[math]\displaystyle{ x_{1, 2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt {\frac{p^2}{4}-q}. }[/math]
Примечание: данная формула совпадает с предлагаемой в разделе «Корни приведённого квадратного уравнения», которую, в свою очередь, можно получить из общей формулы (1) путём подстановки равенства a = 1. Этот факт не просто совпадение: описанным методом, произведя, правда, некоторые дополнительные рассуждения, можно вывести и общую формулу, а также доказать свойства дискриминанта.
VI способ. Использование прямой и обратной теоремы Виета
Прямая теорема Виета (см. ниже) и обратная ей теорема позволяют решать приведённые квадратные уравнения устно, не прибегая к вычислениям по формуле (1).
Согласно обратной теореме, всякая пара чисел (число) [math]\displaystyle{ x_1 , x_2 }[/math], будучи решением системы уравнений
- [math]\displaystyle{ \begin{cases} x_1 + x_2 = -p,\\ x_1 x_2 = q, \end{cases} }[/math]
- являются корнями уравнения [math]\displaystyle{ x^2 + px +q=0 }[/math].
Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом:
- 1) если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и наибольший по модулю из корней — знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения;
- 2) если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это — знак, противоположный знаку второго коэффициента.
VII способ. Метод «переброски»
По своей сущности метод «переброски» является просто модификацией теоремы Виета.
Метод «переброски» — это сведение уравнения, которое нельзя привести так, чтобы все коэффициенты остались целыми, к приведённому уравнению с целыми коэффициентами:
- 1) умножаем обе части на старший коэффициент:
- [math]\displaystyle{ ax^2+bx+c=0\quad\cdot a, }[/math]
- [math]\displaystyle{ (ax)^2 +b(ax)+ac=0; }[/math]
- 2) заменяем [math]\displaystyle{ y=ax\colon }[/math]
- [math]\displaystyle{ y^2 +by+ac=0. }[/math]
Далее решаем уравнение относительно y по методу, описанному выше, и находим x = y/a.
Как можно заметить, в методе «переброски» старший коэффициент как раз «перебрасывается» к свободному члену.
Геометрический смысл
![](https://cdn.xn--h1ajim.xn--p1ai/images/6/66/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5.gif)
Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет одно решение (в этом случае говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня или корень кратности 2). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня (см. изображение справа.)
Если коэффициент [math]\displaystyle{ a }[/math] положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициент [math]\displaystyle{ b }[/math] положительный (при положительном [math]\displaystyle{ a }[/math], при отрицательном наоборот), то вершина параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.
Графический способ решения квадратных уравнений
Помимо универсального способа, описанного выше, существует так называемый графический способ. В общем виде этот способ решения рационального уравнения вида [math]\displaystyle{ f(x)=g(x) }[/math] заключается в следующем: в одной системе координат строят графики функций [math]\displaystyle{ y=f(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ y=g(x) }[/math] и находят абсциссы общих точек этих графиков; найденные числа и будут корнями уравнения.
- Есть всего пять основных способов графического решения квадратных уравнений.
Способ I
Для решения квадратного уравнения [math]\displaystyle{ ax^2+bx+c=0 }[/math] этим способом строится график функции [math]\displaystyle{ y=ax^2+bx+c }[/math] и отыскивается абсциссы точек пересечения такого графика с осью [math]\displaystyle{ x }[/math].
Способ II
Для решения того же уравнения этим способом его преобразуют к виду [math]\displaystyle{ ax^2=-bx-c }[/math] и строят в одной системе координат графики квадратичной функции [math]\displaystyle{ y=ax^2 }[/math] и линейной функции [math]\displaystyle{ y=-bx-c }[/math], затем находят абсциссу точек их пересечения.
Способ III
Решение этим методом подразумевает преобразование исходного уравнения к виду [math]\displaystyle{ a(x+l)^2+m=0 }[/math], используя метод выделения полного квадрата суммы (разности) и затем в [math]\displaystyle{ a(x+l)^2=-m }[/math]. После этого строятся график функции [math]\displaystyle{ y=a(x+l)^2 }[/math] (им является график функции [math]\displaystyle{ y=ax^2 }[/math], смещённый на [math]\displaystyle{ |l| }[/math] единиц масштаба вправо или влево в зависимости от знака) и прямую [math]\displaystyle{ y=-m }[/math], параллельную оси абсцисс. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы и прямой.
Способ IV
Квадратное уравнение преобразуют к виду [math]\displaystyle{ ax^2+c=-bx }[/math], строят график функции [math]\displaystyle{ y=ax^2+c }[/math] (им является график функции [math]\displaystyle{ y=ax^2 }[/math], смещённый на [math]\displaystyle{ c }[/math] единиц масштаба вверх, если этот коэффициент положителен, либо вниз если он отрицателен), и [math]\displaystyle{ y=-bx }[/math], находят абсциссы их общих точек.
Способ V
Квадратное уравнение преобразуют к особому виду:
- [math]\displaystyle{ \frac{ax^2}{x}+\frac{bx}{x}+\frac{c}{x}=\frac{0}{x}; }[/math]
- [math]\displaystyle{ ax+b+\frac{c}{x}=0; }[/math]
затем
- [math]\displaystyle{ ax+b=-\frac{c}{x}. }[/math].
Совершив преобразования, строят графики линейной функции [math]\displaystyle{ y=ax+b }[/math] и обратной пропорциональности [math]\displaystyle{ y=-\frac{c}{x};\ (c\not=0) }[/math], отыскивают абсциссы точек пересечения этих графиков. Этот метод имеет границу применимости: если [math]\displaystyle{ c=0 }[/math], то метод не используется.
Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки
Описанные выше методы графического решения имеют существенные недостатки: они достаточно трудоёмки, при этом точность построения кривых — парабол и гипербол — низка. Указанные проблемы не присущи предлагаемому ниже методу, предполагающему относительно более точные построения циркулем и линейкой.
Чтобы произвести такое решение, нужно выполнить нижеследующую последовательность действий.
- Построить в системе координат Oxy окружность с центром в точке [math]\displaystyle{ S(-\frac{b}{2a}; \frac{a+c}{2a}) }[/math], пересекающую ось y в точке C(0;1).
- Далее возможны три случая:
- длина радиуса окружности превышает длину перпендикуляра к оси абсцисс, опущенного из точки S: в этом случае окружность пересекает ось x в двух точках, а уравнение имеет два действительных корня, равных абсциссам этих точек;
- радиус равен перпендикуляру: одна точка и один вещественный корень кратности 2;
- радиус меньше перпендикуляра: корней в множестве [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] нет.
Корни квадратного уравнения на множестве комплексных чисел
Уравнение с действительными коэффициентами
Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами [math]\displaystyle{ a,~b,~c }[/math] всегда имеет с учётом кратности два комплексных корня, о чём гласит основная теорема алгебры. При этом, в случае неотрицательного дискриминанта корни будут вещественными, а в случае отрицательного — комплексно-сопряжёнными:
- при [math]\displaystyle{ D \gt 0 }[/math] уравнение будет иметь два вещественных корня:
- [math]\displaystyle{ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}; }[/math]
- при [math]\displaystyle{ D = 0 }[/math] — один корень кратности 2 (другими словами, два одинаковых корня):
- [math]\displaystyle{ x = -\frac{b}{2a}; }[/math]
- при [math]\displaystyle{ D \lt 0 }[/math] — два комплексно-сопряжённых корня, выражающихся той же формулой, что и для положительного дискриминанта. Также её можно переписать так, чтобы она не содержала отрицательного подкоренного выражения, следующим образом:
- [math]\displaystyle{ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-b \pm i\sqrt{|D|}}{2a}. }[/math]
Уравнение с комплексными коэффициентами
В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле (1) и указанным выше её вариантам, но различимыми являются только два случая: нулевого дискриминанта (один двукратный корень) и ненулевого (два корня единичной кратности).
Корни приведённого квадратного уравнения
Квадратное уравнение вида [math]\displaystyle{ x^2 + px + q = 0, }[/math] в котором старший коэффициент [math]\displaystyle{ a }[/math] равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до
- [math]\displaystyle{ x_{1,2}= -\frac p2 \pm \sqrt{\left( \frac p2 \right)^2-q}. }[/math]
Мнемонические правила:
- Из «Радионяни»:
«Минус» напишем сначала,
Рядом с ним p пополам,
«Плюс-минус» знак радикала,
С детства знакомого нам.
Ну, а под корнем, приятель,
Сводится всё к пустяку:
p пополам и в квадрате
Минус прекрасное[2] q.
- Из «Радионяни» (второй вариант):
p, со знаком взяв обратным,
На два мы его разделим,
И от корня аккуратно
Знаком «минус-плюс» отделим.
А под корнем очень кстати
Половина p в квадрате
Минус q — и вот решенья,
То есть корни уравненья.
- Из «Радионяни» (третий вариант на мотив Подмосковных вечеров):
Чтобы x найти к половине p,
Взятой с минусом не забудь,
Радикал приставь с плюсом минусом,
Аккуратно, не как-нибудь.
А под ним квадрат половины p,
Ты, убавь на q и конец,
Будет формула приведенная,
Рассуждений твоих венец.
Будет формула приведенная,
Рассуждений твоих венец.
Теорема Виета
Формулировка для приведённого квадратного уравнения
Сумма корней приведённого квадратного уравнения [math]\displaystyle{ x^2 + px + q = 0 }[/math] равна коэффициенту [math]\displaystyle{ p }[/math] со знаком «минус», а произведение корней — свободному члену [math]\displaystyle{ q\colon }[/math]
- [math]\displaystyle{ x_1 + x_2 = -p, \quad x_1x_2 = q. }[/math]
С его помощью приведённые уравнения можно решать устно:
Для неприведённого квадратного уравнения
В общем случае, то есть для не приведённого квадратного уравнения [math]\displaystyle{ ax^2 + bx + c = 0\colon }[/math]
- [math]\displaystyle{ \begin{cases} x_1 + x_2 = -b/a, \\ x_1x_2 = c/a. \end{cases} }[/math]
На практике (следуя методу «переброски») для вычисления корней применяется модификация теорема Виета:
- [math]\displaystyle{ \begin{cases} x_1 + x_2 = -b/a&\mid\cdot a, \\ x_1x_2 = c/a&\mid\cdot a^2; \end{cases} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \begin{cases} (ax_1) + (ax_2) = -b, \\ (ax_1)(ax_2) = ac, \end{cases} }[/math]
по которой можно устно находить ax1, ax2, а оттуда — сами корни:
Но у некоторых неприведённых уравнений корни можно устно угадать даже по стандартной теореме Виета:
Разложение квадратного трёхчлена на множители и теоремы, следующие из этого
Если известны оба корня квадратного трёхчлена, его можно разложить по формуле
- [math]\displaystyle{ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2) }[/math] (2)
Доказательство
Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, корни [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ x_2 }[/math] квадратного уравнения [math]\displaystyle{ ax^2+bx+c=0 }[/math] образуют соотношения с его коэффициентами: [math]\displaystyle{ x_1+x_2=-\frac{b}{a},\ x_1x_2=\frac{c}{a} }[/math]. Подставим эти соотношения в квадратный трёхчлен:
- [math]\displaystyle{ \begin{alignat}{2} ax^2+bx+c&=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})=a(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2)= \\ & =a(x^2-x_1x-x_2x+x_1x_2)=a(x(x-x_1)-x_2(x-x_1)) \\ &=a(x-x_1)(x-x_2). \end{alignat} }[/math]
В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.
- Из формулы (2) имеются два важных следствия:
Следствие 1
- Если квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами, то он имеет вещественные корни.
Доказательство
Пусть [math]\displaystyle{ ax^2+bx+c=(kx+m)(nx+l) }[/math]. Тогда, переписав это разложение, получим:
- [math]\displaystyle{ (kx+m)(nx+l)=k(x+\frac{m}{k})n(x+\frac{l}{n})=kn(x-(-\frac{m}{k}))(x-(-\frac{l}{n})) }[/math].
Сопоставив полученное выражение с формулой (2), находим, что корнями такого трёхчлена являются [math]\displaystyle{ -\frac{m}{k} }[/math] и [math]\displaystyle{ -\frac{l}{n} }[/math]. Так как коэффициенты вещественны, то и числа, противоположные их отношениям также являются элементами множества [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math].
Следствие 2
- Если квадратный трёхчлен не имеет вещественных корней, то он не раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами.
Доказательство
Действительно, если мы предположим противное (что такой трёхчлен раскладывается на линейные множители), то, согласно следствию 1, он имеет корни в множестве [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math], что противоречит условию, а потому наше предположение неверно, и такой трёхчлен не раскладывается на линейные множители.
f (x) = x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2) действительной переменной x, x — координаты точки, где график пересекает ось абсцисс, x = −1 и x = 2, являются решениями квадратного уравнения: x2 − x − 2 = 0.
Уравнения, сводящиеся к квадратным
Алгебраические
Уравнение вида [math]\displaystyle{ a \cdot f^2(x) + b \cdot f(x) + c = 0 }[/math] является уравнением, сводящимся к квадратному.
В общем случае оно решается заменой [math]\displaystyle{ f(x)=t,~ t \in E(f), }[/math] где E — множество значений функции f, c последующим решением квадратного уравнения [math]\displaystyle{ a \cdot t^2 + b \cdot t + c = 0 }[/math].
Также при решении можно обойтись без замены, решив совокупность двух уравнений:
- [math]\displaystyle{ f(x) = \frac {-b - \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}} {2a} }[/math] и
- [math]\displaystyle{ f(x) = \frac {-b + \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}} {2a} }[/math]
К примеру, если [math]\displaystyle{ f(x)=x^2 }[/math], то уравнение принимает вид:
- [math]\displaystyle{ ax^4+bx^2+c=0. }[/math]
Такое уравнение 4-й степени называется биквадратным[3][1].
С помощью замены
- [math]\displaystyle{ y = x + \dfrac{k}{x} }[/math]
к квадратному уравнению сводится уравнение
- [math]\displaystyle{ a x^4 + b x^3 + c x^2 + k b x + k^2 a = 0, }[/math]
известное как возвратное или обобщённо-симметрическое уравнение[1].
Дифференциальные
Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка
- [math]\displaystyle{ y'' + py' + qy = 0 }[/math]
подстановкой [math]\displaystyle{ y = e^{kx} }[/math] сводится к характеристическому квадратному уравнению:
- [math]\displaystyle{ k^2 + pk + q = 0 }[/math]
Если решения этого уравнения [math]\displaystyle{ k_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ k_2 }[/math] не равны друг другу, то общее решение имеет вид:
- [math]\displaystyle{ y = Ae^{k_1 x} + Be^{k_2 x} }[/math], где [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] — произвольные постоянные.
Для комплексных корней [math]\displaystyle{ k_{1,2} = k_r \pm k_i i }[/math] можно переписать общее решение, используя формулу Эйлера:
- [math]\displaystyle{ y = e^{k_r x} \left( A\cos{k_i x} + B\sin{k_i x} \right) = Ce^{k_r x} \cos(k_i x + \varphi), }[/math]
где A, B, C, φ — любые постоянные. Если решения характеристического уравнения совпадают [math]\displaystyle{ k_1 = k_2 = k }[/math], общее решение записывается в виде:
- [math]\displaystyle{ y = Axe^{kx} + Be^{kx} }[/math]
Уравнения такого типа часто встречаются в самых разнообразных задачах математики и физики, например, в теории колебаний или теории цепей переменного тока.
Примечания
- ↑ Перейти обратно: 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 Энциклопедический словарь юного математика, 1985.
- ↑ другой вариант — «несчастное»
- ↑ Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. — 1988.
Литература
- Квадратное уравнение; Квадратный трёхчлен // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 133-136. — 352 с.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Quadratic Equation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Вывод формулы корней полного квадратного уравнения. Решение приведённых квадратных уравнений и уравнений с чётным вторым коэффициентом Архивная копия от 28 января 2016 на Wayback Machine / Фестиваль педагогических идей «Открытый урок».